专题探究5球与几何体的切接问题1.球的表面积与它的内接正方体的表面积的比值是()A.π3B.π4C.π2D.π2.三棱长分别为1,❑√3,2的长方体的8个顶点都在球O的表面上,则球O的体积为()A.8❑√2π3B.3❑√2πC.7❑√3π3D.4❑√3π3.[2018·广东五校联考]一块硬质木料的三视图如图Z5-1所示,正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm图Z5-1图Z5-24.[2018·济宁模拟]如图Z5-2,圆柱内有一内切球(圆柱各面与球均相切),若内切球的体积为43π,则圆柱的侧面积为()A.πB.2πC.4πD.8π5.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为3的正三角形,SC是球O的直径,且SC=4,则此三棱锥的体积V=.6.[2018·张家口期末]体积为8的正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个体积为V的球,则V的最大值为()A.8πB.4πC.8❑√2π3D.4π37.在三棱锥P-ABC中,AB=AC=1,AB⊥AC,PA⊥平面ABC,且直线PA与平面PBC所成角的正切值为12,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.4πB.8πC.16πD.32π8.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上,△ABC所在截面圆的圆心O在AB上,SO⊥平面ABC,AC=❑√3,BC=1,若三棱锥的体积是❑√33,则球的表面积是()A.254πB.2512πC.12548πD.25π9.点A,B,C,D在同一个球面上,AB=BC=❑√2,AC=2,若球的表面积为25π4,则四面体ABCD体积的最大值为()A.14B.12C.23D.210.[2018·梅河口第五中学模拟]若球O的半径为4,且球心O到平面α的距离为❑√3,则平面α截球O所得截面圆的面积为()A.πB.10πC.13πD.52π11.[2018·聊城一模]如图Z5-3是某几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,正视图为等腰直角三角形,若该几何体的各个顶点都在同一个球面上,则这个球的体积与该几何体的体积的比值为()图Z5-3A.7π3B.28π9C.14❑√7π9D.4π312.若一个球的表面积为100π,现用两个平行平面α,β去截这个球,两个截面圆的半径分别为r1=3,r2=4,则两截面间的距离为.13.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为❑√32,底面三角形ABC的周长为3,则这个球的体积为.14.[2018·衡水武邑中学月考]一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,向容器内注入水,并放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切.问:将球从圆锥形容器内取出后,圆锥形容器内水面的高是多少?15.[2018·成都树德中学月考]如图Z5-4所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切,且分别与正方体相切.(1)求两球半径之和;(2)两球的半径分别为多少时,两球体积之和最小?图Z5-416.三棱锥D-ABC中,AB=CD=❑√6,其余四条棱长均为2,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为()A.14πB.7πC.21πD.28π17.如图Z5-5①,在四边形ABCD中,AB=BC=2,∠ABC=90°,DA=DC=❑√6.现将△ACD沿对角线AC折起,使得平面DAC⊥平面ABC,如图②,此时点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的体积是()图Z5-5A.92πB.8❑√23πC.272πD.12π专题集训(五)1.C[解析]设正方体的棱长为a,则球的半径为❑√32a,所以球的表面积S1=4π×34a2=3πa2,而正方体的表面积S2=6a2,所以所求比值为S1S2=π2.2.A[解析]三棱长分别为1,❑√3,2的长方体的8个顶点都在球O的表面上,所以球的直径等于长方体的体对角线长,即2R=❑√12+(❑√3)2+22=2❑√2,得R=❑√2,所以球O的体积V=43πR3=43π(❑√2)3=8❑√2π3.3.A[解析]由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r,则10-r+10-r=10❑√2,所以r=10-5❑√2≈3.故选A.4.C[解析]设球的半径为r,则43πr3=43π,解得r=1,所以圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,故选C.5.3❑√32[解析]设球的半径为R,因为△ABC是边长为3的正三角形,所以△ABC外接圆的半径r=❑√3,所以球心O到平面ABC的距离d=❑√R2-r2=1.又SC为球O的直径,所以点S到平面ABC的距离为2d=2,所以此三棱锥的体积V=13S△ABC×2d=13×❑√34×32×2=3❑√32.6.D[解析]要使球的体积V最大,则球为正方体的内切球. 正方体的体积为8,∴正方体的棱长为2,∴内切球的半径为1,故其体积为43π×13=43π,故选D.7.A[解析]如图,取BC的中点D,连接AD,PD, AB=AC,∴AD⊥BC,又 PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∴BC...
