高中数学函数单调性问题的求解策略专题辅导VIP免费

高中数学函数单调性问题的求解策略函数的单调性是函数的一个极其重要的性质，在高三的复习中经常会碰到有关函数单调性求解的问题。下面通过例子来说明此类问题的求解思路。一.掌握几种常见函数的单调性，会求复合函数的单调区间复习过程中要熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对数函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。例1.（1989年高考）已知fxxx()822，如果gxfx()()22，那么gx()（）A.在区间（-1，0）上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数C.在区间（-2，0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数解：函数gx()是由fuuu()822和ux22复合而成的。又fuuu()822在u1，上递减，在u，1上递增；uxx202在，上为减函数，在x，0上为增函数。当u1时，得11x当u1时，得x1或x1由此可得，函数gx()在10x或x1时为减函数函数gx()在x1或01x时，为增函数故选（A）解题回顾：本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题，要求会利用复合函数的单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。复合函数单调性的判定法则是，若fx()与gx()同是增（减）函数，则fgx()在其定义域上是增函数；若fxgx()()与是一增一减函数，则fgx()在其定义域上是减函数。上述法则可简述为：同增异减。二.利用函数的图象求解例2.指出函数fxxx()||243的单调区间。解：作出函数fxxx()||243的图象。根据图象可得，函数在12，以及3，上为增函数；在，1以及23，上为减函数图1三.利用函数单调性的定义例3.求函数fxxaxa()()0在()0，上的单调区间。解：任取012xx，则fxfx()()12用心爱心专心xaxxaxxxaxaxxxxxaxx11221212121212()()(*)因为012xx所以xxxx121200，若函数fx()为增函数，则fxfx()()120所以xxaaxx12120，即因为012xx所以ax12，故xa1同理，若fx()为减函数，则xa2因此，当xa时，函数fxxaxa()()0为增函数当0xa时，函数fxxaxa()()0为减函数解题回顾：从定义出发，利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单调性的定义出发，把求字母a的取值范围的问题，转化为恒成立的问题来加以求解，同时得出了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论，我们可以研究此类分式函数在某个区间上的最值问题。四.利用导数求解例4.已知函数fxxax()4在，1上为单调增函数，求a的取值范围。解：因为fxxax()4在，1上为单调增函数所以fxax'()112410在，1上恒成立即21ax恒成立即ax4恒成立因为xx145，，所以a5说明：导数是高中数学和高等数学的连接点，是高中教材新增加的内容，许多高次函数、分式函数以及无理函数的单调区间和最值问题的研究都离不开导数，因此不可忽视导数在函数中的作用。例1若用导数解则更简便，由gx'()0得函数的增区间为，1及()01，；由gx'()0得减区间为()10，及()1，。很快就能确定答案为（A）。由此可以看出，导数在单调区间的求解方面有着很大的优势。例5.已知函数fxxaxa()()10在区间02，上是减函数，求实数a的取值范围。解法1：利用例3中的结论。函数fxxax()1在01，a上为减函数，在a1，上为增函数。由题知，该函数在02，上是减函数用心爱心专心所以a12，得a3解法2：利用函数的单调性的定义。任取0212xx，则fxfxxaxxaxxxxxaxx()()()121122121212111因为0212xx所以xx120且xx120因为fx()在02，上为增函数所以xxa1210()恒成立所以axx112恒成立因为xx124，所以a14，得a3解法3：利用导数因为fxxax()1所以fxax'()112因为fxxax()1在02，上为减函数，所以fx'()0对x02，恒成立即ax21对x02，...