本章自主检测一．填空题1．在导数定义中，自变量x的增量△x与0的大小关系是不等于0。（填大于0、小于0、等于0或不等于0）2．已知函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则=2f′(x0)。3．抛物线y=x2上点M(，)的切线倾斜角是45°。4．曲线y＝x3－3x＋1在点（1，－1）处的切线方程为y＝－1。5．函数已知时取得极值，则=5。6．设则。7．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是3，-17.8．若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则与0的大小关系是0。9．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是2x－y+4=0。10．在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是3x－y－11＝0。11．某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为.12．若函数恰有3个单调区间，则的取值范围是。13．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式为。14．（理科）（1）设函数。若是奇函数，则。（2）由与轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为。（文科）（1）函数的最大值是。（2）已知函数的导函数是，且的图象过点，当函数取得极大值时，0。1二、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.解：由题意得：∴的图象是开口向下的抛物线，16．（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.解：(I)，因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故由上表知，当时，在单调递减，2在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即①设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为17．（本小题满分16分）(理)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．⑴求函数f(x)的单调递减区间；⑵若，证明：．(文)已知f(x)＝ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。由<0及x>－1，得x>0．∴当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，因此，当时，≤，即≤0∴．令，则＝．∴当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．∴当时，≥，即≥0，∴．综上可知，当时，有．(文)解：函数f(x)的导数：（Ⅰ）当（）时，是减函数.所以，当是减函数；（II）当时，=由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数；3（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数.综上，所求的取值范围是（18．(本小题满分16分)已知a为实数，。⑴求导数；⑵若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；⑶若在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。解：⑴由原式得：∴⑵由得,此时有.由得或x=-1,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为⑶解法一：的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得即∴－2≤a≤2。所以a的取值范围为[－2,2].解法二：令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即解不等式组得－2≤a≤2.∴a的取值范围是[－2,2].19．(本小题满分16分)已知函数在处取得极值。⑴讨论和是函数的极大值还是极小值；⑵过点作曲线的切线，求此切线方程。解：⑴，依题意，，即解得。∴。令，得。4若，则，故在上是增函数，在上是增函数。若，则，故在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。⑵曲线方程为，点不在曲线上。设切点为，则点M的坐标满足。因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得。所以，切点为，切线方程为。5
