高考数学一轮复习（例题解析） 15.4 直线与圆、圆与圆的位置关系VIP专享VIP免费

高中数学一轮复习资料第十五章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组1．(2009年高考天津卷)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，有|OC|＝＝1，∴a＝1.答案：12．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：依题意，过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积S＝××5＝.答案：3．(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．解析： 圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|＝5，∴OP＝＝2.∴tan∠POC＝＝.在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：44．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝＝>1，∴m<0或m>10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)5．(原创题)已知直线x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m－1＝n，所以2m－1－m<5，因为m，n∈N*，所以，，，，故有序实数对(m，n)共有4个．答案：4个6．(2010年南京调研)已知：以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明： 圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2) OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN. kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程是y＝x.∴＝t，解得：t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.B组1．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．解析：直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交2．(2010年秦州质检)已知直线y＝－x与圆x2＋y2＝2相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点，则∠APB＝____________.解析：弦心距长为，半径为，所以弦AB所对的圆心角为，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB＝.答案：3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα＋ysinα＝0与圆(x＋cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是________．解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)，d＝＝|cos(α－β)|＝>＝r.答案：相离4．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有__条．解析：方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．答案：325．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________．解析：A∩B有4个子集，即A∩B有2个元素，∴半圆x2＋(y－1)2＝4(y≥1)与过P(2,4)点，斜率为k的直线有两个交点，如图：A(－2,1)，kPA＝，过P与半圆相切时，k＝，∴