压轴大题拉分练(02)(满分:24分时间:30分钟)1.(12分)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线上第一象限的点,直线l与抛物线相切于点M.(1)过M作HM垂直于抛物线的准线于点H,连接MF,求证:直线l平分∠HMF;(2)若p=1,过点M且与l垂直的直线交抛物线于另一点Q,分别交x轴、y轴于A、B两点,求+的取值范围.(1)证明:设M(2pt2,2pt)(t>0)则H,直线HF的斜率k1==-2t,由y2=2px(p>0)得y=,∴直线l的斜率k2=·=,∴k1·k2=(-2t)·=-1,∴l⊥HF.又由抛物线定义|MF|=|MH|,∴l平分∠HMF.(2)解:当p=1时,M(2t2,2t),AB的方程:y-2t=-2t(x-2t2),∴A(1+2t2,0),B(0,2t+4t3).∴===2t2+1,由⇒ty2+y-4t3-2t=0,∴2t+yQ=-⇒yQ=-2t-,∴===,∴+=2t2+1+=2t2+2t2+1=4t2+1∈(1,+∞).2.(12分)已知函数f(x)=x2-ax-lnx(a∈R).(1)当a=-3时,求f(x)的单调递减区间;(2)对任意的a∈(-3,-2),及任意的x1,x2∈[1,2],恒有|f(x1)-f(x2)|<ln2-ta成立,求实数t的取值范围.解:(1)f(x)=-x2+3x-lnx,f′(x)=-2x+3-=-,∴f(x)的递减区间为,(1,+∞).(2)f′(x)=(a+1)x-a-==,由a∈(-3,-2)知-∈,∴f(x)在[1,2]上递减,∴f(1)-f(2)<ln2-ta,--+ln2<ln2-ta,∴(2t-1)a<3,t>+对a∈(-3,-2)恒成立,∴t≥0.