高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例真题演练集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例真题演练集训理新人教A版1．[2016·四川卷]在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝DB·DC＝DC·DA＝－2，动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是()A.B.C.D.答案：B解析：由|DA|＝|DB|＝|DC|知，D为△ABC的外心．由DA·DB＝DB·DC＝DC·DA知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以|BM|max＝|BE|＋＝，则|BM|＝，故选B.2．[2015·福建卷]已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A．13B．15C．19D．21答案：A解析： AB⊥AC，故以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B，C(t,0)，则AP＝＋＝(4,1)，故点P的坐标为(4,1)．PB·PC＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.3．[2015·天津卷]在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为________．答案：解析：在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得AD＝DC＝1.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，BC＝－(2,0)＝，DC＝－＝(1,0)． BE＝λBC＝，∴E. DF＝DC＝，∴F.∴AE·AF＝·＝＋λ＝＋＋λ1≥＋2＝，当且仅当＝λ，即λ＝时等号成立，符合题意．∴AE·AF的最小值为.4．[2016·江苏卷]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．答案：解析：解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，BA＝(b＋a，c)，CA＝(b－a，c)，BF＝，CF＝，BE＝，CE＝，由BA·CA＝b2－a2＋c2＝4，BF·CF＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝，则BE·CE＝(b2＋c2)－a2＝.解法二：设BD＝a，DF＝b，则BA·CA＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF·CF＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则BE·CE＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.课外拓展阅读巧解平面向量高考题的5种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．[典例]若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.－1B．1C.D．22解法一：目标不等式法[思路分析][解析]因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝.展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案]B解法二：向量基底法[思路分析][解析]取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝ma＋nb.由|c|＝1，即|ma＋nb|＝1，可得(ma)2＋(nb)2＋2mna·b＝1，由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0.整理，得m2＋n2＝1.而a－c＝(1－m)a－nb，b－c＝－ma＋(1－n)b，故由(a－c)·(b－c)≤0，得[(1－m)a－nb]·[－ma＋(1－n)b]≤0，展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，即m2－m＋n2－n≤0.又m2＋n2＝1，故m＋n≥1.而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b，3故(a＋b－c)2＝[(1－m)a＋(1－n)b]＝(1－m)2a2＋2(1－m)(1－n)a·b＋(1－n)2b2＝(1－m)2＋(1－n)2＝m2＋n2－2(m＋n)＋2＝3－2(m＋n)．又m＋n≥1，所以3－2(m＋n)≤1.故|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案]B解法三：坐标法[思路分析][解析]因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所...