第57讲不等式的性质及绝对值不等式1.已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值;(2)解不等式f(x)≤5.2.[2018·成都七中模拟]已知函数f(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)-f(2x+4)<2;(2)若f(x)+f(x+3)≥m2+2m对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.3.[2018·石家庄质检]已知函数f(x)=|x-3|+|x+m|(x∈R).(1)当m=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集,求实数m的取值范围.4.[2018·华中师范大学第一附属中学模拟]已知函数f(x)=|ax-1|.(1)若f(x)≤2的解集为[-3,1],求实数a的值;(2)若a=1,且存在x0∈R,使得不等式f(2x0+1)-f(x0-1)≤3-2m成立,求实数m的取值范围.5.[2018·郑州质检]已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);(2)若存在x0∈R,使得f(x0)≤g(x0)成立,求实数a的取值范围.6.[2018·衡水中学模拟]已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|,P为不等式f(x)>4的解集.(1)求P;(2)证明:当m,n∈P时,|mn+4|>2|m+n|.7.[2018·张家口模拟]已知函数f(x)=|x+1|.(1)解不等式f(x)+f(2x-2)>2;(2)若不等式f(x+a-1)-f(x)≤|x-2|的解集包含[-1,2],求实数a的取值范围.8.[2018·贵州凯里一中模拟]设函数f(x)=|2x+a|+|x-2a|,x∈R.(1)当a=2时,求不等式f(x)<3的解集M;(2)若a>0,求证:f(x)≥2.课时作业(五十七)1.解:(1)由题意知f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,解得a=2.(2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|={-2x+6,x≤2,2,24.当x≤2时,由-2x+6≤5,得12≤x≤2,当24时,由2x-6≤5,得42,x-2-2x-2<2,解得x<-2或-232,∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪-23,+∞.(2)由题知f(x)+f(x+3)=|x-2|+|x+1|≥|x-2-x-1|=3,∴f(x)+f(x+3)的最小值为3,∴m2+2m≤3,解得-3≤m≤1,∴实数m的取值范围为[-3,1].3.解:(1)当m=1时,f(x)≥6等价于{x≤-1,-(x-3)-(x+1)≥6或{-10时,不等式的解集为-1a,3a,令-1a=-3,3a=1,无解;当a<0时,不等式的解集为3a,-1a,令-1a=1,3a=-3,解得a=-1.综上所述,a=-1.(2)当a=1时,令h(x)=f(2x+1)-f(x-1)=|2x|-|x-2|={-x-2,x≤0,3x-2,02,由此可知,h(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,则当x=0时,h(x)取得最小值-2.由题意知,-2≤3-2m,则实数m的取值范围是-∞,52.5.解:(1)当a=0时,由f(x)≥g(x),得|2x+1|≥|x|,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-13,故原不等式的解集为(-∞,-1]∪-13,+∞.(2)由f(x)≤g(x),得a≥|2x+1|-|x|.令h(x)=|2x+1|-|x|,则h(x)={-x-1,x≤-12,3x+1,-124,得x>2或x<-2,所以不等式f(x)>4的解集P={x|x>2或x<-2}.(2)证明:由(1)可知|m|>2,|n|>2,所以m2>4,n2>4,所以(mn+4)2-4(m+n)2=(m2-4)(n2-4)>0,所以(mn+4)2>4(m+n)2,从而有|mn+4|>2|m+n|.7.解:(1)f(x)+f(2x-2)>2即为|x+1|+|2x-1|>2.①当x≤-1时,原不等式化为-(x+1)-(2x-1)>2,即-3x>2,解得x<-23,∴x≤-1;②当-12,即-x>0,解得x<0,∴-12,即3x>2,解得x>23,∴x>23.∴不等式的解集为{x|x<0或x>23}.(2)不等式f(x+a-1)-f(x)≤|x-2|可化为|x+a|-|x+1|≤|x-2|,即|x+a|≤|x+1|+|x-2|在[-1,2]上恒成立,∴-3≤x+a≤3(x∈[-1,2]),∴{-3-a≤-1,3-a≥2,∴-2≤a≤1,即a的取值范围为[-2,1].8.解:(1)不等式f(x)<3可化为|2x+2|+|x-1|<3,等价于{x≤-1,-3x-1<3或{-1
