高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法课时作业（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP免费

课时作业10平面几何中的向量方法时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC中，若(CA＋CB)·(CA－CB)＝0，则△ABC(C)A．是正三角形B．是直角三角形C．是等腰三角形D．形状无法确定解析：由条件知CA2＝CB2，即|CA|＝|CB|，即△ABC为等腰三角形．2．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为(C)A．B．2C．5D．10解析：因为AC·BD＝(1,2)×(－4,2)＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC⊥BD，且|AC|＝＝，|BD|＝＝2，所以S四边形ABCD＝|AC||BD|＝××2＝5.故选C．3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP＝OA＋(AB＋AC)，则|AP|等于(B)A．2B．1C．D．4解析：设BC边的中点为M，则(AB＋AC)＝AM，∴OP＝OA＋AM＝OM，∴P与M重合，∴|AP|＝|BC|＝1.4．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是(BD)A．|b|＝1B．|a|＝1C．a∥bD．(4a＋b)⊥BC解析：如图，由题意，BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，A错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，B正确；因为AB＝2a，BC＝b，故a，b不平行，C错误；设BC的中点为D，则AB＋AC＝2AD，且AD⊥BC，而2AD＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥BC，D正确．5．设O为△ABC的外心，平面上一点P使OP＝OA＋OB＋OC，则点P是△ABC的(C)A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：由OP＝OA＋OB＋OC，得AP＝OB＋OC，以OB，OC为邻边作▱OBDC，如图． O为△ABC的外心，∴OB＝OC．∴四边形OBDC为菱形．∴OD⊥BC．又AP＝OB＋OC＝OD，∴AP⊥BC．同理，BP⊥AC．故P为垂心．6．设O为△ABC内部的一点，且OA＋2OB＋3OC＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为(C)A．32B．53C．21D．31解析：设AC的中点为D，BC的中点为E，则(OA＋OC)＋(2OB＋2OC)＝2OD＋4OE＝0，∴OD＝－2OE，即O，D，E三点共线．∴S△OCD＝2S△OCE，∴S△AOC＝2S△BOC，∴S△AOCS△BOC＝21.二、填空题7．在等腰直角三角形ABC中，AC是斜边，且AB·AC＝，则该三角形的面积等于.解析：设Rt△ABC的直角边长为a，则斜边长为a，于是AB·AC＝a·a·＝a2＝，从而a＝，于是S△ABC＝××＝.8．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，则直线DE的方程为x－y＋2＝0，直线EF的方程为x＋5y＋8＝0.解析：由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)．所以(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0.即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF的方程为x＋5y＋8＝0.9．在四边形ABCD中，已知AB＝(4，－2)，AC＝(7,4)，AD＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是30.解析：BC＝AC－AB＝(3,6)＝AD，因为AB·BC＝(4，－2)×(3,6)＝0，所以四边形ABCD为矩形，因为|AB|＝＝2，|BC|＝＝3，所以S四边形ABCD＝|AB||BC|＝2×3＝30.三、解答题10．如图，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线，垂足分别为D、E，且AD与BE交于H，连接CH，求证：CH⊥AB．证明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，得AH·BC＝0，BH·AC＝0. AH＝AC＋CH，BH＝BC＋CH，∴(AC＋CH)·BC＝0，①(BC＋CH)·AC＝0，②①－②得，CH·(BC－AC)＝0，即CH·BA＝0，∴CH⊥AB．11．如图，在△OAB中，已知点P为线段AB上的一点，且|AP|＝2|PB|.(1)试用OA、OB表示OP；(2)若|OA|＝3，|OB|＝2，且∠AOB＝，求OP·AB的值．解：(1)因为点P在AB上，且|AP|＝2|PB|，所以AP＝2PB，即OP－OA＝2(OB－OP)，所以OP＝OA＋OB.(2)OP·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝－OA2＋OB2－OA·OB＝－|OA|2＋|OB|2－|OA|·|OB|cos∠AOB＝－×9＋×4－×3×2cos＝－.——能力提升类——12．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若OP－OA＝λ，λ∈[0，＋∞)，则直线AP一定过△ABC的(A)A．重心B．垂心C．外心D．内心解析：如图，取BC的中点D，则AB＋BC＝AB＋BD＝AD.又 OP－OA＝λ，∴AP＝λAD，∴A，P，D三点共线，∴直线AP一定过△ABC的重心．13．向量a≠e，|e|＝1，若对任意t∈R，|a－te|≥|a＋e|，则(C)A．a⊥eB．a⊥(a＋e)C．e⊥(a＋e)D．(a＋e)⊥(a－e)解析：由|a－te|≥...