新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题练习 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲圆锥曲线的综合问题1．(2016·四川改编)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为______．答案解析如图，由题意可知F，设P点坐标为，显然，当y0<0时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨设y0>0.则OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时等号成立．2．(2016·课标全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)因为AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，所以EA＋EB＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，AB＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，所以MN＝|x1－x2|＝.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到m的距离为，所以PQ＝2＝4.故四边形MPNQ的面积S＝MN·PQ＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且点P(4,3)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1·k2取最大值时，求直线l的方程．解(1)由题意可得b＝c＝，a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率为0时，k1k2＝×＝.当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立整理得(m2＋2)y2＋2my－3＝0，故y1＋y2＝，y1y2＝.又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，因此k1·k2＝·＝＝＝＝＋.令t＝4m＋1，只考虑t>0时，故k1·k2＝＋＝＋≤1，当且仅当t＝5时取等号．综上可得，直线l的方程为x－y－1＝0.思维升华解决范围问题的常用方法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1如图，已知椭圆：＋y2＝1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E，F两点．(1)若ED＝6DF，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值．解(1)依题设得椭圆的顶点A(2,0)，B(0,1)，则直线AB的方程为x＋2y－2＝0.设直线EF的方程为y＝kx(k>0)．设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1