11.1.6祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础巩固1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为()A.1∶3∶4B.1∶3∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶2解析设球的半径为R,则V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=43πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球=23∶2∶43=1∶3∶2.故选B.答案B2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是()A.216B.72C.108D.648答案A3.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是()A.6❑√3B.3❑√6C.11D.12解析设长方体长、宽、高分别为a,b,c,则ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,∴V=abc=6❑√3.答案A4.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为()A.3B.4C.5D.6解析由题意,V=13(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.答案A5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为()A.1B.12C.❑√32D.34解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R.故V柱∶V锥=πR2h∶13πr2h=34.故选D.答案D6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为()A.1B.2C.3D.4解析设两球的半径分别为R、r(R>r),则由题意得{4π3R3+4π3r3=12π,2πR+2πr=6π,解得{R=2,r=1.故R-r=1.故选A.答案A7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=❑√22,则下列结论正确的是()A.AC⊥平面BEFB.AE,BF始终在同一个平面内C.EF∥平面ABCDD.三棱锥A-BEF的体积为定值解析由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,∴A对; EF∥BD,BD⊂面ABCD,EF⊄面ABCD,得EF∥平面ABCD,∴C对; S△BEF=12×❑√22×1=❑√24,设AC,BD交于点O,AO⊥平面BB1D1D,AO=❑√22∴VA-BEF=13×❑√24×❑√22=112,∴D对; B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一个平面内,B错误.故选ACD.答案ACD8.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=.解析设底面半径为r,则13πr2×4=4π,解得r=❑√3,即底面半径为❑√3.答案❑√39.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为.解析设球O的半径为r,则43πr3=23,解得r=3√6π.答案3√6π10.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为.解析由43πR3=43π,得R=1.设正方体的棱长为a,则❑√3a=2R,所以a=2❑√3,故正方体的表面积S表=6a2=6×(2❑√3)2=8.答案811.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中,钢球全部没入水中,水面升高4cm,则钢球的半径是.解析圆柱形玻璃容器中水面升高4cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有43πR3=36π,所以R=3cm.答案3cm12.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9g/cm3),每个钢球重145kg,并且外径等于50cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1cm,2.243≈11.24098).解由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×43π×(502)3≈516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000<516792,所以钢球是空心的.设球的直径为2xcm,那么球的质量为7.9×[43π×(502)3-43πx3]=145000.解得x3≈11240.98,∴x≈22.4,2x≈45(cm).即钢球是空心的,其内径约为45cm.能力提升1.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为()A.1∶1∶1B.1∶1∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶4解析设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S,所以VA1-ABC=13S△ABC·h=13Sh,VC-A1B1C1=13S△A1B1C1·h=43Sh.又V台=13h(S+4S+2S)=73Sh,所以VB-A1B1C=V台-VA1-ABC−VC-A1B1C1=73Sh-13Sh-43Sh=23Sh.所以所求体积之比为1∶2∶4.故选C.答案C2.三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是()解析V=13S△AMC·NO=13(12×3x×sin30°)·(8-2x)=-12(x-2)2+2,x∈[0,3].故选A.答案A3.两个相同的正四棱锥组成如图①所示的几何体,可放入棱长为1的正方体(如图②)内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有()A.1个B.2...
