11.3.1平行直线与异面直线关键能力·素养形成类型一两直线的平行【典例】1.在如图所示三棱台中,平行的直线有几对?2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEFA,G,H分别为FA,FD的中点.世纪(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思维·引】1.平行直线是在一个平面内,没有公共点的直线,可在三个侧面中寻找.2.(1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.【解析】1.由题知三棱台中平行的直线:AB∥A1B1,BC∥B1C1,AC∥A1C1,共有三对.2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GHAD.又BCAD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)共面.理由:由BEAF,G为FA的中点知,BEFG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.【内化·悟】1.一个平面内没有公共点的两条直线有何位置关系?提示:一个平面内没有公共点的两条直线是平行直线.2.由空间平行线的传递性可以得到几何体中的什么关系?提示:线线平行关系.【类题·通】证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法.用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)空间平行线的传递性.用空间平行线的传递性证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由空间平行线的传递性即可得到a∥c.【习练·破】如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面.(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.【证明】(1)在△ABD中,因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH∥BD.同理FG∥BD,则EH∥FG.故E,F,G,H四点共面.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.又因为四边形EFGH是矩形,所以EH⊥GH.故AC⊥BD.【加练·固】如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,所以EF∥PN.同理可证HG∥PN,所以EF∥HG.类型二异面直线的定义及应用【典例】1.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为()A.1B.2C.3D.42.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明.世纪【思维·引】1.将正方体表面的展开图还原成正方体,在正方体中可以直观作出判断.2.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选C.还原的正方体如图所示,是异面直线的共三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.2.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还可能异面(如图③所示).【内化·悟】研究范围由平面推广到空间后,能否只根据公共点个数判断两条直线的位置关系?提示:不能.因为两条平行直线和两条异面直线都是没有公共点的,无法从公共点个数上进行区别.【类题·通】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)利用结论:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.【习练·破】如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b的位置关系,并证明你的结论.【解析】假设EF和a共面,设这个平面为α,则EF⊂α,a⊂α.所以A,B,E,F∈α,所以BF⊂α,AE⊂α.又因为C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b⊂α.从而a,b共面于α,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.所以EF和a共面的假设不成立,所以EF和a是异面直线.同理可得EF和b也是异面直线.类型三等角定理的应用【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形.(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.世纪【思维·引】(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形,可证其一组对边平行且相等.(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明.【证明】(1...
