高考数学一轮复习（例题解析） 14.5 简单几何体的面积和体积VIP专享VIP免费

高中数学一轮复习资料第十四章立体几何第五节简单几何体的面积和体积A组1．(2010年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的表面积为________．解析：设外接球半径为r，则(2r)2＝12＋()2＋22＝8，故r2＝2.∴S球＝4πr2＝8π.答案：8π2．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V＝S·h＝πR2·h＝π×22×2＝.答案：3．(2010年南京调研)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：设AC＝a，CC1＝b，则由BC12＝BC2＋CC12，BC12＝DC12＋DB2，即得(a2＋b2)×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×a2＝6，∴a2＝8，∴V＝×8×4＝8.答案：84．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝π×()3＝.答案：5．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．解析：如右图，设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，则OO′⊥面ABC.在Rt△ACD中，cosA＝，则sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得＝2R，R＝，即O′C＝.在Rt△OCO′中，由题意得r2－r2＝，得r＝.球的表面积S＝4πr2＝4π×＝54π.答案：54π6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为.(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．解：(1)证明：法一：如图，连结D1C， ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴A1D1∥BC且A1D1＝BC.∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C. A1B⊄平面CDD1C1，D1C⊂平面CDD1C1，∴A1B∥平面CDD1C1.法二： ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴平面A1AB∥平面CDD1C1. A1B⊂平面A1AB，A1B⊄平面CDD1C1.∴A1B∥平面CDD1C1.(2)设A1A＝h， 几何体ABCD－A1C1D1的体积为，∴VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝，即SABCD×h－×S△A1B1C1×h＝，即2×2×h－××2×2×h＝，解得h＝4.∴A1A的长为4.(3)如图，连结D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD. ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB. A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B.∴OA1＝D1B.同理OD＝OC1＝D1B.∴OA1＝OD＝OC1＝OB.∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O. D1B2＝A1D12＋A1A2＋AB2＝22＋42＋22＝24.∴S球＝4π×(OD1)2＝4π×()2＝π×D1B2＝24π.用心爱心专心1故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π.B组1．(2008年高考湖北卷)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．解析：截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于1，所以球的半径R＝，故球的体积V＝πR3＝π.答案：2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为________．解析：AB·AC＝，AD·AC＝，AB·AD＝，∴AB＝，AC＝1，AD＝.∴V＝··1··＝.答案：3．(2010年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．解析：由πR3＝，得R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2.∴a＝4.∴V＝(4)2·4＝48.答案：484．(2009年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．解析：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1＝×1×＝，故八面体体积V＝2V1＝.答案：5．(2009年高考全国卷Ⅰ)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于__________．解析：由题意得圆M的半径r＝，又球心到圆M的距离为，由勾股定理得R2＝r2＋()2，∴...