专题集训五球与几何体的切接问题1.[2018·辽宁凌源模拟]过长方体的一个顶点的三条棱长分别为3,2,x,其顶点都在表面积为18π的球的球面上,则x=()A.❑√6B.❑√5C.2D.❑√32.[2018·山西康杰中学月考]将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π3.[2018·福建泉州质检]如图Z5-1,在正方形网格纸上,实线画出的是某多面体的三视图.若该多面体的顶点在同一球面上,则该球的表面积等于()图Z5-1A.8πB.18πC.24πD.8❑√6π4.[2018·山东烟台一模]已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.5.[2018·浙江金华东阳中学月考]已知正三棱锥的高为1,底面边长为2❑√3,内有一个球与四个面都相切,则该球的半径为.6.[2018·安徽马鞍山一模]已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()A.4π3B.4πC.16π3D.16π7.[2018·黑龙江双鸭山模拟]如图Z5-2,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()图Z5-2A.❑√66πB.π3C.π6D.❑√33π8.[2018·云南玉溪一中月考]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.8πB.12πC.20πD.24π9.[2018·哈尔滨六中模拟]已知四面体S-ABC中,SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=❑√5,AC=❑√3,则该四面体的外接球的表面积为.10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为❑√32,底面三角形ABC的周长为3,则这个球的体积为.11.[2018·山东青州三模]在三棱锥A-BCD中,底面BCD为直角三角形,且BC⊥CD,斜边BD上的高为1,三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB,若该外接球的表面积为16π,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为.12.[2018·河北衡水武邑中学月考]一个倒放的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高度是多少?13.[2018·成都树德中学月考]如图Z5-3所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.图Z5-314.[2018·成都七中三诊]四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积的取值范围为4❑√33,83,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.15.[2018·广东汕头潮南区模拟]已知三棱锥A-BCD中,AB=3,AD=1,BC=4,BD=2❑√2,当三棱锥A-BCD的体积最大时,其外接球的体积为.专题集训(五)1.B[解析]由题意,设球的半径为R,则4πR2=18π,则4R2=18,又长方体的体对角线长等于球的直径,所以(2R)2=9+4+x2,即9+4+x2=18,得x=❑√5,故选B.2.B[解析]体积最大的球是正方体的内切球,即球的半径为1,所以球的表面积S=4π×12=4π.3.C[解析]设球的半径为R.易知该多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合),两顶点之间的距离为2R,底面是边长为❑√2R的正方形,由R2+❑√2R22=32,得R2=6,故该球的表面积S=4πR2=24π.4.9π2[解析]设正方体的棱长为a,因为这个正方体的表面积为18,所以6a2=18,解得a=❑√3,又该正方体所有的顶点都在一个球面上,所以该正方体的体对角线长等于球的直径.设球的半径为R,则❑√3a=2R,即2R=❑√3×❑√3,解得R=32,则球的体积V=43πR3=43π×323=9π2.5.❑√2-1[解析]如图,在正三棱锥P-ABC中,过点P作PD⊥平面ABC于点D,连接AD并延长,交BC于点E,连接PE, △ABC是正三角形,∴AE是BC边上的高和中线,D为△ABC的中心. AB=2❑√3,∴S△ABC=3❑√3,DE=1,又PD=1,∴PE=❑√2,∴三棱锥P-ABC的表面积S=3×12×2❑√3×❑√2+3❑√3=3❑√6+3❑√3.易知三棱锥的体积V=13×3❑√3×1=❑√3.设球的半径为r,以球心O为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小三棱锥,由等体积法可得r=3❑√33❑√6+3❑√3=❑√2-1.6.C[解析]设圆锥的底面半径为r,则2πr=2π,r=1,∴圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,∴圆锥的外接球球心是正三角形的中心,外接球半径等于正三角形外接圆的半径,为❑√33×2=2...
