4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式选题明细表知识点、方法题号空间点的坐标3,4,8空间两点间的距离1,5,7,9,11,12对称及应用问题2,10基础巩固1.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是(D)(A)(B)|a|(C)|b|(D)|c|解析:点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a,b,0),所以|PP′|=|c|.故选D.2.在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为(C)(A)(4,0,6)(B)(-4,7,-6)(C)(-4,0,-6)(D)(-4,7,0)解析:点M关于y轴的对称点是M′(-4,7,-6),点M′在坐标平面xOz上的射影是(-4,0,-6).3.在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为(B)(A)(0,,0)(B)(0,,)(C)(1,0,)(D)(1,0,0)解析:平面yOz内点的横坐标为0,P,Q纵坐标、竖坐标分别相等,故Q(0,,).4.已知A点坐标为(1,1,1),B(3,3,3),点P在x轴上,且|PA|=|PB|,则P点坐标为(A)(A)(6,0,0)(B)(6,0,1)(C)(0,0,6)(D)(0,6,0)解析:设P(x,0,0),|PA|=,|PB|=,由|PA|=|PB|,得x=6.5.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),则|AB|的最小值是(B)(A)3(B)3(C)2(D)2解析:|AB|2=(2a-1)2+(-7-a)2+(-2+5)2=5a2+10a+59=5(a+1)2+54.所以a=-1时,|AB|2的最小值为54.所以|AB|min==3.6.空间点M(-1,-2,3)关于x轴的对称点的坐标是.解析:因为点M(-1,-2,3)关于x轴对称,由空间中点P(x,y,z)关于x轴对称点的坐标为(x,-y,-z)知,点M关于x轴的对称点为(-1,2,-3).答案:(-1,2,-3)7.已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2).则(1)过A点的中线长为;(2)过B点的中线长为;(3)过C点的中线长为.解析:(1)设BC的中点为D,则D(4,1,-2),可得|AD|==2;(2)设AC的中点为E,则E(,-,3),可得|BE|==;(3)设AB的中点为F,则F(,,-1),可得|CF|==.答案:(1)2(2)(3)8.如图所示,在长方体ABCOA1B1C1O1中,OA=1,OC=2,OO1=3,A1C1与B1O1交于P,分别写出A,B,C,O,A1,B1,C1,O1,P的坐标.解:点A在x轴上,且OA=1,所以A(1,0,0).同理,O(0,0,0),C(0,2,0),O1(0,0,3).B在xOy平面内,且OA=1,OC=2,所以B(1,2,0).同理,C1(0,2,3),A1(1,0,3),B1(1,2,3).所以O1B1的中点P的坐标为(,1,3).能力提升9.(2018·大同高一检测)空间直角坐标系中,x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点有(A)(A)2个(B)1个(C)0个(D)无数个解析:设x轴上满足条件的点为B(x,0,0),则由|PB|=,得=.解之得x=-1或9.故选A.10.已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点M1,M关于xOy平面对称的点M2,M关于x轴、y轴对称的点M3,M4.解:由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于xOy平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3).11.在空间直角坐标系中,在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最短.解:由已知,可设M(x0,1-x0,0).则|MN|==.所以当x0=1时,|MN|min=.此时点M的坐标为(1,0,0).探究创新12.已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0
