11.3.2直线与平面平行关键能力·素养形成类型一直线与平面平行的判断【典例】1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于D,E,且=,如图所示,则BC与平面α的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.BC⊂α2.(2020·济南高一检测)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1.(2)求证:EF∥平面BB1D1D.世纪【思维·引】1.由=可以推出ED∥BC.2.(1)充分借助于P,Q为中点这一条件,用三角形中位线的性质证明直线与直线平行.(2)要证明EF∥平面BB1D1D,需要在平面BB1D1D内找到与EF平行的直线,此直线与EF构成平行四边形.【解析】1.选A.因为=,所以ED∥BC,又DE⊂α,BC⊄α,所以BC∥α.2.(1)连接AC,D1C,因为四边形ABCD是正方形,所以Q是AC的中点,又P是AD1的中点,所以PQ∥D1C,因为PQ⊄平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.(2)连接D1Q,QE,因为Q,E分别是BD,BC的中点,所以QE∥DC,QE=DC,因为F是C1D1的中点,四边形DCC1D1是正方形,所以D1F∥DC,D1F=DC,所以QE∥D1F,QE=D1F,所以四边形QEFD1是平行四边形,所以EF∥QD1,因为EF⊄平面BB1D1D,QD1⊂平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.【内化·悟】直观图中直线与直线的平行关系有变化吗?据此通常如何作辅助线寻找平面内与已知直线平行的直线?提示:不变.通常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理作辅助线,证明直线与直线平行.【类题·通】应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:①空间直线平行关系的传递性法;②三角形中位线法;③平行四边形法;④成比例线段法.提醒:线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.【习练·破】如图,S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=.求证:MN∥平面SBC.【证明】连接AN并延长交BC于P,连接SP,因为AD∥BC,所以=,又因为=,所以=,所以MN∥SP.又MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC,所以MN∥平面SBC.【加练·固】如图,四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别为BC,DE的中点.证明:CN∥平面AEM.【证明】取AE中点F,连接MF,FN.因为在△AED中,F,N分别为EA,ED中点,所以FNAD.又因为四边形ABCD是平行四边形,所以BCAD.又M是BC中点,所以MCAD,所以FNMC.所以四边形FMCN为平行四边形,所以CN∥MF,又CN⊄平面AEM,MF⊂平面AEM,所以CN∥平面AEM.类型二直线与平面平行的性质定理的应用角度1与性质定理有关的证明问题【典例】如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:PA∥GH.世纪【思维·引】要证PA∥GH,观察到过PA的平面PAHG与平面BDM相交于GH,需要先证PA∥平面BDM.【证明】连接AC,设AC∩BD=O,连接MO.因为四边形ABCD为平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以MO∥PA.又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,所以PA∥平面BDM.又因为平面BDM∩平面PAHG=GH,PA⊂平面PAHG,所以PA∥GH.【素养·探】在与线面平行的性质有关的证明问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,根据“直线与平面平行”,寻找过此直线的平面与已知平面的交线,推出直线与直线平行.直线与平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.将本例条件“M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH”改为“点E在线段PA上,PC∥平面BDE”,求证:AE=PE.【证明】连接AC交BD于点F,连接EF,因为底面ABCD是平行四边形,所以F是AC的中点,因为PC∥平面BDE,又因为平面BDE∩平面PAC=EF,PC⊂平面PAC,所以PC∥EF,所以EF是△PAC的中位线,所以AE=PE.角度2与性质定理有关的计算问题【典例】如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD之外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF,试求PM∶MA的值.世纪【思维·引】由PC∥平面MEF可推出PC∥OM,利用平行线分线段成比例定理可将PM∶PA的值转化为在菱形ABCD中求OC∶AC的值.【解析】如图,连接BD交AC于点O1,连接OM,因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,PC⊂平面PAC,所以PC∥OM,所...
