高中数学 黄金100题系列 第63题 空间平行关系的证明 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第63题空间平行关系的证明I．题源探究·黄金母题【例1】如图，在空间四边形中，分别是的中点，求证：（1）平面；（2）平面；．【解析】（1） 分别为的中点，∴为的中位线，∴， 平面，平面，∴平面．（2） 分别为的中点∴为的中位线，∴． 平面，平面，∴平面．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析：（1）先由平几知识得BC∥AD，再利用线面平行判定定理证结论，（2）取AD的中点M，利用面面垂直性质定理证明PM⊥底面ABCD，得四棱锥的高，再通过平几计算得底面直角梯形面积，最后代入椎体体积得体积.解析：（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.，设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以因为△PCD的面积为，所以，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱锥P-ABCD的体积.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.【例3】【2016年全国Ⅲ卷】如图，四棱锥中，平面，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明平面；（2）求四面体的体积.【解析】（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，．又，故，四边形为平行四边形，于是．因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为．取的中点，连结.由得，．由得到的距离为，故，所以四面体的体积．【例4】【2016年江苏高考】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点F在侧棱上，且，.求证：（1）直线平面；（2）平面平面．【解析】1）在直三棱柱中，．在三角形中，因为分别为的中点，所以，于是．又因为平面平面，所以直线平面．（2）在直三棱柱中，．因为平面，所以．又因为，，，所以平面，因为平面，所以．又因为，，，所以．因为直线，所以．精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．III．理论基础·解题原理考点直线、平面平行的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一...