空间向量在求空间角及距离中的应用【考点梳理】1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)求法cosβ＝cosθ＝|cosβ|＝2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).4.利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，点，则．（2）点到平面的距离如图所示，设为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则点到平面的距离．【教材改编】1．(选修2－1P111A组T1改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为棱CC1上的中点，则A1M与D1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案]B解析]以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D1(0,0,2)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，M(0,2,1)，∴＝(－2,2，－1)，＝(0,2，－2)，设A1M与D1C所成角为θ，∴cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，∴θ＝45°.2.(选修2－1P118A组T10改编)如图，棱长为a的正方体OEACBFGD中，P是AB上的一点，Q是CD上的一点．当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，则PQ的最小值为()A．aB.aC.aD.a答案]B解析]建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是.因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．PQ＝＝.当z＝时，PQ的最小值为a.即点Q在棱CD的中点时，PQ有最小值a.故选B.3．(选修2－1P112A组T4改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.答案]B解析]以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝，所以有，即解得∴＝(1,2,2)． 平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，∴cos〈，〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.4．(选修2－1P97练习T3改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AB的中点，则D1B与CM所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案]C解析]建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为2，则M(2,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，∴＝(2，－1，0)，＝(2,2，－2)，cos〈，〉＝＝＝.∴D1B与CM所成角的余弦值为，故选C.5．(选修2－1P111练习T3改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为()A.B.C.D.答案]C解析]设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， E为BC1的中点，∴D(0,0,0)，E(1,2,1)，∴＝(1,2,1)，设DE与平面BCC1B1所成角的平面角为θ， 平面BCC1B1的法向量＝(0,1,0)，∴sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，∴cosθ＝＝，∴tanθ＝＝，故选C.6．(选修2－1P98A组T4改编)正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．答案]解析]||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴||＝，∴EF的长为.7.(选修2－1P118A组T12改编)如图将正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E、F分别为AD、BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折叠后∠EOF的大小为________．答案]解析]如图所示，以，，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,0,0)，D(0,0,2)∴E(1,0,1)，F(－1,1,0)，∴＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，∴cos〈，〉＝＝＝－，∴∠EOF＝120°.8．(选修2－1P117A组T5改编)已知三点A(0,2,3)，B(－2，1,6)，C(1，－1,5)，则△ABC的面积为________．答案]解析]＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，∴||＝，||＝.∴cos〈，〉＝＝＝.则sin〈，〉＝.∴S△ABC＝||·||sin〈，〉＝×××＝.9.(选修2－1P112A组T6改编)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，则点A到平面MBC的距离为________...
