直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥04．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．5．一个质点从A出发依次沿图K63－1中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后又回到A，其中：AB⊥BC，AB∥CD∥EF∥HG∥IJ，BC∥DE∥FG∥HI∥JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n＝()图K63－1A．2B．3C．4D．56．已知＝ad－bc，则＋＋…＋＝()A．－2008B．2008C．2010D．－20107．已知c＞1，a＝－，b＝－，则正确的结论是()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a，b大小关系不定8．使不等式<成立的条件是()A．a>bB．ab，且ab<0D．a>b，且ab>09．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．13．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是______1__．14．(10分)若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.15．(13分)已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.16．(12分)已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，对于任意不等的两个正数x1，x2，证明：当a≤0时，>f.答案解析【基础热身】1．B[解析]假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故选B.2．C[解析]直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角2三角形与原三角形都相似，故选B.3．D[解析]因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.故选D.4．x0，∴<0.∴x20，y>0，∴x0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此a，b，c中至少有一个大于0.15．[解答]证明：假设三式同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>.①又(1－a)a≤2＝当且仅当a＝时取“＝”号，同理(1－b)b≤，(1－c)c≤.所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．【难点突破】16．[解答]证明：由f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，得＝(x＋x)＋＋(lnx1＋lnx2)＝(x＋x)＋＋aln，f＝2＋＋aln.而(x＋x)＝(x＋x＋x＋x)>(x＋x＋2x1x2)＝2.①∵(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2>4x1x2，∴>.②∵<，∴ln2＋＋aln，即>f.3
