11.1.1空间几何体与斜二测画法关键能力·素养形成类型一水平放置的平面图形的直观图的画法【典例】画一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图.【思维·引】依据用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤直接画.【解析】(1)在▱ABCD中,以直线AB为x轴,过D垂直于AB的直线OD为y轴,建立直角坐标系xOy,如图1.再建立斜坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,如图2.(2)在x′轴上取O′A′=OA,取O′B′=OB,在y′轴上取O′D′=OD,过D′作D′C′∥x′轴,且D′C′=DC,如图2.(3)连线:连接B′C′,A′D′,如图2.擦去作图过程中的辅助线,最后得到的四边形A′B′C′D′即为一个锐角是45°的平行四边形ABCD的直观图.【内化·悟】1.在▱ABCD中,建立直角坐标系xOy时,原点可以选在B点吗?选在AB的中点可以吗?提示:可以选在B点,也可以选在AB的中点.2.在斜二测画法中建立直角坐标系xOy的原则是什么?提示:建立直角坐标系xOy的原则是使得平面图形中尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点.【类题·通】画平面图形的直观图的关键点及对策(1)关键点:画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.(2)对策:首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.【习练·破】画如图所示水平放置的直角梯形的直观图.【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.作出相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图①②所示.(2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.连接B′C′,如图②.(3)擦去作图过程中的辅助线,所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图.如图③.类型二立体图形直观图的画法【典例】用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2cm,3cm,高为2cm.世纪【思维·引】先作四棱台的下底面,再依据四棱台的高确定上底面的位置,并画出其直观图,最后连线成图.【解析】画法:(1)画轴.画x′轴、y′轴、z′轴,三轴相交于点O,使∠x′Oy′=45°,∠x′Oz′=90°.(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3cm;在y′轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm.分别过点M和点N作y′轴的平行线,过点P和Q作x′轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z′轴上取一点O′,使OO′=2cm,以O′为原点画直线a和直线b,使直线a∥x′轴,直线b∥y′轴,在平面aO′b内以O′为中心画水平放置的边长为2cm的正方形的直观图A′B′C′D′.(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).【内化·悟】1.棱台的上底面中心与下底面中心的连线与棱台的高有何关系?提示:棱台的上底面中心与下底面中心的连线就是棱台的高.2.在画棱台的直观图时,棱台上底面用哪个轴确定?提示:画棱台的直观图时,棱台上底面用z轴来确定.【类题·通】简单几何体直观图的画法(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.【习练·破】画棱长为2cm的正方体的直观图.【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD,使∠BAD=45°,AB=2cm,AD=1cm.(2)过点A作z′轴,使∠BAz′=90°,分别过点A,B,C,D,沿z′轴的正方向取AA1=BB1=CC1=DD1=2cm.(3)连接A1B1,B1C1,C1D1,D1A1如图①,擦去辅助线,把被遮住的线改为虚线,得到的图形如图②就是所求的正方体的直观图.【加练·固】一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高(两底面圆心连线的长度)为4cm,圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3cm,画出此几何体的直观图.【解析】(1)画轴.如图①所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点,使AB=3cm,且OA=OB,选择椭圆模板中适当的椭圆,使它为圆柱的下底面,并过A,B两点.(3)在Oz上取点O′,使OO′=4cm,过点O′作平行于Ox的O′x′,类似圆柱下...
