平面向量的应用1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则(B)A．|v1|<|v2|B．|v1|>|v2|C．|v1|＝|v2|D．|v1|与|v2|的大小不确定2．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(A)A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|(方法一)因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2.所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，所以a⊥b.(方法二)利用向量加法的平行四边形法则．在ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.3．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的(C)A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心由|OA|＝|OB|＝|OC|知，O为△ABC的外心．由NA＋NB＋NC＝0知，N为△ABC的重心．由PA·PB＝PB·PC(PA－PC)·PB＝0CA⊥PB，同理，AP⊥BC，CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心．4．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为(D)A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，则z＝2x＋3y，x，y满足不等式＋≤1，画出可行域如下：当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3，当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3.5．两人一起提重为|G|的书包时，两拉力的夹角为θ，每人用力均为|F|，则|F|与|G|的关系是|F|＝.按力的平行四边形法则有|F|＝.6．在正三角形ABC中，D是BC边上的点，若AB＝3，DC＝2BD，则AB·AD＝.如图，在△ABD中，AB·AD＝AB·(AB＋BD)＝AB2＋AB·BD＝9＋|AB|·|BD|·cos120°＝9－＝.7．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2，3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求|OP|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．(1)因为m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，所以OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)．所以|OP|＝＝2.(2)因为OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n),即两式相减得：m－n＝y－x.令y－x＝t，由图可知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.8．(2018·天津卷)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为(C)A．－15B．－9C．－6D．0如图，连接MN.因为BM＝2MA，CN＝2NA，所以＝＝，所以MN∥BC，且＝，所以BC＝3MN＝3(ON－OM)，所以BC·OM＝3(ON·OM－OM2)＝3(2×1×cos120°－12)＝－6.9．已知A(a,0)，B(3,2＋a)，直线y＝ax与线段AB的交点为M，且AM＝2MB，则a＝－4或2.设M(x0，y0)，由AM＝2MB，得(x0－a，y0)＝2(3－x0,2＋a－y0)，则又y0＝ax0，所以解得a＝－4或2.10．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E，求证：BE＝BA.如图，设OA＝a，OB＝b，则BD＝a，OD＝b＋a，设OE＝ma＋nb，因为O，E，D三点共线，所以＝.①AE＝OE－OA＝(m－1)a＋nb，AB＝b－a，又A，E，B三点共线，所以＝，即m＋n－1＝0.②由①②解得m＝，n＝3m＝，故OE＝a＋b.所以BE＝OE－OB＝a＋b－b＝a－b，又BA＝a－b，所以BE＝BA，即BE＝BA.
