考点规范练20函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用一、基础巩固1.已知简谐运动f(x)=2sin(π3x+φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6,φ=π6B.T=6,φ=π3C.T=6π,φ=π6D.T=6π,φ=π3答案A解析最小正周期为T=2ππ3=6;由2sinφ=1,得sinφ=12,又|φ|<π2,所以φ=π6.2.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos2x的图象()A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向左平移12个单位长度D.向右平移12个单位长度答案C解析 y=cos(2x+1)=cos2(x+12),∴只要将函数y=cos2x的图象向左平移12个单位长度即可.3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C解析因为sin(π6x+φ)∈[-1,1],所以函数y=3sin(π6x+φ)+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C.0D.-π4答案B解析由题意可知平移后的函数为y=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+π4+φ).由平移后的函数图象关于y轴对称,可得π4+φ=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ+π4(k∈Z),故选B.5.(2018天津,文6)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[-π4,π4]上单调递增B.在区间[-π4,0]上单调递减C.在区间[π4,π2]上单调递增D.在区间[π2,π]上单调递减答案A解析将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin2x,该函数在[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z)上单调递增,在[π4+kπ,3π4+kπ](k∈Z)上单调递减,结合选项可知选A.6.若函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为π6,则φ=()A.π6B.π4C.π3D.5π12答案C解析由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为T2-φ.故T2-φ=π6,即φ=π3.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则y=f(x+π6)取得最小值时x的集合为()A.{x|x=kπ-π6,k∈Z}B.{x|x=kπ-π3,k∈Z}C.{x|x=2kπ-π6,k∈Z}D.{x|x=2kπ-π3,k∈Z}答案B解析根据所给图象,周期T=4×(7π12-π3)=π,故π=2πω,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图象经过(7π12,0),代入有2×7π12+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<π2,得φ=-π6,故f(x+π6)=sin(2x+π6),当2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)时,y=f(x+π6)取得最小值.8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,把f(x)的图象向左平移12个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g(52)=()A.-1B.1C.-❑√3D.❑√3答案A解析根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象,可得A=2,14·2πω=56−13,求得ω=π.根据五点作图法可得π·13+φ=π2,2kπ(k∈Z),结合|φ|<π2,求得φ=π6,故f(x)=2sin(πx+π6).把f(x)的图象向左平移12个单位长度后,得到函数g(x)=2sin[π(x+12)+π6]=2cos(πx+π6)的图象,则g(52)=2cos(5π2+π6)=2cos2π3=-1,故选A.9.若关于x的方程2sin(2x+π6)=m在区间[0,π2]上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,❑√3)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,❑√3]答案C解析方程2sin(2x+π6)=m可化为sin(2x+π6)=m2,当x∈[0,π2]时,2x+π6∈[π6,7π6],画出函数y=f(x)=sin(2x+π6)在区间[0,π2]上的图象如图所示.由题意,得12≤m2<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.10.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ≤π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则f(π6)=.答案❑√22解析函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到y=sin(2ωx+φ)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到y=sin[2ω(x-π6)+φ]=sin(2ωx-ωπ3+φ)的图象.由题意知sin(2ωx-ωπ3+φ)=sinx,所以2ω=1,-ωπ3+φ=2...
