高考数学一轮复习 课时跟踪检测30 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测(三十)[高考基础题型得分练]1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：D解析：PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.2．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0,2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．3．[2017·江西新余一中四模]已知直线AB与抛物线y2＝2x交于A，B两点，M是AB的中点，C是抛物线上的点，且使得CA·CB取最小值，抛物线在点C处的切线为l，则()A．CM⊥ABB．CM⊥CBC．CM⊥CAD．CM⊥l答案：D解析：如图所示，CA·CB＝(AM－CM)·(BM－CM)＝CM2－(BM＋AM)·CM＋AM·BM＝CM2－AB2，当直线AB一定，且|CM|取得最小值时，CA·CB取得最小值，易知只有当CM⊥l时，|CM|取得最小值，故选B.4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A．－B．－C.D.答案：D解析：由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又 0≤θ≤π，∴θ＝.5．[2017·安徽合肥一模]已知等边△ABC的边长为2，若BC＝3BE，AD＝DC，则BD·AE＝()A．－2B．－C．2D.答案：A解析：如图所示，BD·AE＝(AD－AB)·(AB＋BE)＝·＝·＝AC2－AB2＝×4－×4＝－2，故选A.6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A.B.C.D.答案：C解析：设a与b的夹角为θ. f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx.∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. 函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，又|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝＜＝，即cosθ＜，又 θ∈[0，π]，∴θ∈，故选C.7．[2017·吉林长春质检]已知向量a＝(1，)，b＝(0,1)，则当t∈[－，2]时，|a－tb|的取值范围是()A．[1，]B．[1，＋∞)C．(－∞，]D．(1，)答案：A解析： a·b＝，a2＝4，b2＝1，∴|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝t2－2t＋4＝(t－)2＋1.∴当t＝时，|a－tb|2取得最小值1；当t＝－时，|a－tb|2取得最大值13.∴|a－tb|的最小值为1，|a－tb|的最大值为.8．[2017·广州综合测试]在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．答案：2解析：由题意知，AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，∴|AB|＝2.9．[2017·天津十二区县重点中学联考]在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________．答案：解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，M，设E(x,0)，x∈[0,1]，则EC·EM＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋，当x∈[0,1]时，(1－x)2＋单调递减，当x＝0时，EC·EM取得最大值.10．[2017·山西太原模拟]已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意，可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.11．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝________.答案：解析： BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，∴BQ·CP＝－2，即[(1－λ)AC－AB]·[λAB－AC]＝－2，化简得(1－λ)λAC·AB－(1－λ)AC2－λAB2＋AB·AC＝－2，又因为AC·AB＝0，AC2＝4，AB2＝1，所以－(1－λ)×4－λ×1＝－2，解得λ＝.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·山西考前检测]若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝0，则CA在CB方向上的投影为()A．4B.C.D．1答案：C解析：如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量的加法的几何意义，得AB＋AC＝2AD.又由条件，得AB＋AC＝－OA＝AO，所以2AD＝AO，即4AD＝AO，所以A，O，D共线．所以OA⊥BC，所以CD为CA在CB方向上的投...