三角恒等变换一、选择题1．若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为()A．B．－C．±D．±A[由题意知∈，∴cos>0，cos＝＝.]2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A．B．C．D．1＋C[原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝.]3．已知＝2，则cos2α＝()A．－B．C．－D．C[∵＝2，∴解得tanα＝3，∴cos2α＝＝＝＝－.故选C．]4．已知2π<θ<4π，且sinθ＝－，cosθ<0，则tan的值等于()A．－3B．3C．－D．A[由题意知θ为第三象限角，cosθ＝－＝－，所以tan＝＝＝－3.]5．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1B．－1C．0D．±1C[sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＋sinαcos2β－cosαsin2β＝2sinαcos2β＝0.]6．已知x∈，cosx＝，则tan2x等于()A．B．－C．D．－D[cosx＝，x∈，得sinx＝－，所以tanx＝－，所以tan2x＝＝＝－.]7．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为()A．B．－C．D．－B[∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝m，即sinβ＝－m，又β为第三象限角，∴cosβ<0，由同角三角函数的基本关系可得：cosβ＝－＝－，故选B．]8．已知向量a＝(sinα，cos2α)，b＝(1－2sinα，－1)，α∈，若ab＝－，则tan的值为()A．B．C．－D．－C[∵－＝a·b＝sinα(1－2sinα)－cos2α，∴－＝sinα－2sin2α－(1－2sin2α)，化为sinα＝－.∵α∈，∴α∈.∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝，∴tan＝＝＝－.故选C．]9．已知sin(45°＋α)＝，则sin2α等于()A．－B．－C．D．B[sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·＝，∴sinα＋cosα＝.两边平方，∴1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.]10．在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能A[由tanAtanB＞1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB＞cosAcosB，即cos(A＋B)＜0，∴cos(π－C)＜0，∴－cosC＜0，∴cosC＞0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A．]11．化简·的结果为()A．tanαB．tan2αC．1D．2B[原式＝·＝tan2α.]12．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ的值可以是()A．－B．C．－D．A[由题得tan＝0，即tan＝0，＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故选A．]13．若锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是()A．B．C．D．C[∵cosα＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，∴0＜α＋β＜π，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.]14．函数y＝sincos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是()A．x＝B．x＝C．x＝πD．x＝C[y＝sin·cos－cos·sin＝sin＝sin＝cosx，故x＝π是函数y＝cosx的一条对称轴．]15．已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈，若a∥b，则tan＝()A．B．－C．D．－B[因为a∥b，所以有sinα(3sinα－2)－(1－4cos2α)＝0，即3sin2α－2sinα－1＋4cos2α＝0⇒5sin2α＋2sinα－3＝0，解得sinα＝或－1，又α∈，所以sinα＝，cosα＝，tanα＝，所以tan＝＝＝－.]二、填空题16．若tan＝，则tanα＝.[tan＝＝，解得tanα＝.]17．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈的最小值为．－1[f(x)＝sin，x∈.∵－≤x－≤，∴f(x)min＝sin＝－1.]18.＝.[原式＝×＝tan＝tan＝.]19．函数y＝sin2x－2sinxsin＋sin的图象的对称轴是，对称中心是．x＝＋(k∈Z)(k∈Z)[∵y＝sin2x－2sinxsin＋sin＝sin2x－2sinx－1＝－sinxcosx－1＝－sin2x－1.令2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)．∴该函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．]三、解答题20．已知sin－2cos＝0.(1)求tanx的值；(2)求的值．[解](1)由sin－2cos＝0⇒tan＝2，∴tanx＝＝＝－.(2)原式＝＝.由(1)知cosx－sinx≠0，所以上式＝＝cotx＋1＝＋1＝.21．已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(2＋sinx,2－cosx)，函数f(x)＝m·n，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值；(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．[解](1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx(2－cosx)＝2(sinx＋cosx)＝4sin(x∈R)，所以f(x)的最大值是4.(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.又因为x∈，即x＋∈.所以cos＝－.cos＝cos＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.
