函数的值域一、知识点内容和要求：掌握求某些函数的值域的常用方法了解函数最值的概念，掌握某些函数求最值的常用方法二、教学过程设计（一）复习函数的定义域值域的概念（二）新课函数的值域函数的值域决定于函数的定义域和对应法则，求值域对应先求定义域，确定函数的值域常用的方法或技巧有：利用函数的单调性观察分析；利用互为反函数的定义域与值域的互换关系；利用配方法利用换元法；利用判别式法；利用函数同象数形结合等。1、利用函数的值域（1）（2）解：（1）x≥2，，∴y≥0，∴值域[2，+∞）（2）2、求反函数法例2、求下函数的值域：（1）（2）解：（1）法一：∵y≠1∴值域（-∞，1）v（1，+∞）法二：求：函数的反函数为：∴x≠1（反函数的定义域（-∞，1）v（1，+∞））∴函数的值域为（-∞，1）v（1，+∞）（2）（-1，1]练习：求下列函数值域：①值域（-∞，-3）v（-3，1）v（1，+∞）②值域[-1，1）3、配方法例3、求下函数值域（1）[1，+∞）（2）值域：[0，]（3）值域：[，+∞）4、换元法例4、求函数此题所给出这类无理函数，一般采用换元法，转化为二次函数的条件最值来求值域，也可利用判别别式法求值域，但变形可能引起值域的变化，因以必须进行检验。解法一、换元法当t=1时，y有最大值4∴函数值域为（-∞，+4]解法二、判别式法函数定义域为由所给函数，变形整理可得：∵x∈R∴∴y≤4，而当y=4时，x=3∈∴函数的值域为（-∞，4]5、判别式（注意换用，再扩大范围）例5、求下列函数的值域（1）（2）解：（1）定义域：R由所给函数，可得：若y≠0，若y=0，x=0∈R∴值域为（2）v（0，+∞）练习：求下列函数的值域（1）值域[9，+∞）（2）值域（0，32]（3）值域（4）值域（-∞，-1]（5）值域2、函数的最值1、定义：设函数y=f（x）定义在区间Z上，若对于任意x∈Z，存在∈Z，满足；。注意：①最值与值域相关，对整个区间而方，极值或边界点；②值域是开区间，无最值；③单调函数值只能在边界处取到。2、求最值的常用方法与求值域方法类似。（1）与二次函数有关的最值。例1、求下列函数的最值解：（1）当x=-1时，y最小值=-3（2）当x=0时，y最小值=-1；当x=3时，y最大值=29；（3）当x=-2时，y最小值=-1；当x=-3时，y最大值=5；（4）当x=-1时，y最小值=-3；当x=2时，y最大值=15；（5）当x=-1时，y最小值=-3；无最大值。例2、求下列函数的最值。（1）（2）（3）当x=1时，y最小值=1，当x=3时，y最大值=2（4）当x=2时，y最小值=16。例3、求函数x∈[0,1]若a≤0时，当x=0时，y最小值=0，当x=1时，y最大值=1-2a；若a≥1时，当x=0时，y最小值=0，当x=1时，y最大值=1-2a；若0≤a≤时，当x=a时，y最小值=，当x=1时，y最大值=1-2a；若≤a≤1时，当x=0时，y最小值=，当x=a时，y最大值=0。例4、a∈R，求的最小值。提示：换元，设，a＜2时，当x=0，y最小值=2-4aa≥2时，当，y最小值=。例5、已知，且x∈[t，t+1]，讨论f（x）的最值情况。解：，x∈[t，t+1]，当时，函数在x=2时，有最小值-1，在x=t处有最大值f（t）；当时，函数有最小值f（2）=-1，有最大值；当时，函数有最小值f（2）=-1，有最大值f（t+1）；当t≤1时，函数为减函数，最小值为f（t+1），最大值为f（t）；当t≥2时，函数为增函数，最小值为f（t），最大值为f（t+1）。例6、设x+2y=3（x≥0，y≥0）求的最大值。提示：代入消元，并注意确定x，y的取值范围，当x=3时，取最大值9。作业：1、求下列函数的值域：（1）（2＜X＜4）（，1）（2）（-10，1]v[3，+∞）（3）[]2、求下列函数的最值。（1）x∈[-3，0]（1）y最大值=-6，y最小值=-36；（2）x∈R（2）y最小值=-，无最大值；（3）∈（3）y最大值=，y最小值=0；（4）（4）y最大值=2，y最小值=-1。3、已知f（x）=-x（x-a）且x∈[-1，1]，求：当a＜-2，（2）-2≤a≤2，（3）a＞2时，函数的最大值。（1）-（a+1）（2）（3）a-14、已知的最值。（最大值为9，最小值为0）
