-1-第1讲坐标系与参数方程1．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x＝12t，y＝2＋3t(t为参数)．(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换x′＝x，y′＝12y得到曲线C′，过点F(3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.解：(1)直线l的普通方程为23x－y＋2＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)因为x′＝x，y′＝12y，所以C′的直角坐标方程为x24＋y2＝1.易知直线AB的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．将直线AB的参数方程代入曲线C′：x24＋y2＝1，得134t2＋3t－1＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝－413，所以|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝413.2．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，-2-定点M(－4，0)，求△MPQ的面积．解：(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得，曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sinθ.设B(ρ，θ)，则Aρ，θ－π2，则ρ＝6sin(θ－π2)＝－6cosθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.(2)M到直线θ＝5π6的距离为d＝4sin5π6＝2，射线θ＝5π6与曲线C1的交点P3，5π6，射线θ＝5π6与曲线C2的交点Q33，5π6，所以|PQ|＝33－3，故△MPQ的面积S＝12×|PQ|×d＝33－3.3．(2019·河北省九校第二次联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l：x＝－2＋22t，y＝－4＋22t，(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．解：(1)把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρsin2θ＝2acosθ，得y2＝2ax(a>0)，由x＝－2＋22ty＝－4＋22t(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.(2)将x＝－2＋22ty＝－4＋22t(t为参数)代入y2＝2ax，整理得t2－22(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.-3-设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝22(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，由题意知，|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，所以8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，所以a＝1.4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2sinα(α为参数)，曲线C2的参数方程为x＝2cosβ，y＝2＋2sinβ(β为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线l1：θ＝α0<α<π2，将射线l1顺时针旋转π6得到射线l2：θ＝α－π6，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|·|QQ|的最大值．解：(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cosα，点Q的极坐标为ρ2，α－π6，即ρ2＝4sinα－π6，则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sinα－π6＝16cosα·32sinα－12cosα＝8sin2α－π6－4.因为α∈0，π2，所以2α－π6∈－π6，5π6.当2α－π6＝π2，即α＝π3时，|OP|·|OQ|取最大值4.5．(2019·石家庄市质量检测)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变，得到曲线C2.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)已知直线l的参数方程为x＝2＋2t，y＝－1＋3t(t为参数)，点Q为曲线C2上的动点，求点Q到-4-直线l距离的最大值．解：(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.设曲线C1上任意一点的坐标为(x，y)，变换后对应的点的坐标为(x′...
