1专题过关检测（九）导数的单调性、极值、最值问题1．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝mx－nx－lnx，m∈R.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值；(2)试讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值．解：(1)由题意得f′(x)＝n－xx2，∴f′(2)＝n－24.由于函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，∴n－24＝1，解得n＝6.(2)f′(x)＝n－xx2，令f′(x)<0，得x>n；令f′(x)>0，得x
1时，函数f(x)在[1，n)上单调递增，在(n，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(n)＝m－1－lnn.2．已知x＝1是f(x)＝2x＋bx＋lnx的一个极值点．(1)求函数f(x)的单调递减区间．(2)设函数g(x)＝f(x)－3＋ax，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2－bx2＋1x，x∈(0，＋∞)．因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋lnx的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.因为f′(x)＝2－3x2＋1x＝2x2＋x－3x2，解f′(x)<0，得00)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x>0)．因为函数g(x)在[1,2]上单调递增，2所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在[1,2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]．因为在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．3．(2019·沈阳质量监测)已知函数f(x)＝(x－1)2＋mlnx，m∈R.(1)当m＝2时，求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)试讨论函数f(x)的单调性．解：(1)当m＝2时，f(x)＝(x－1)2＋2lnx，其导数f′(x)＝2(x－1)＋2x，所以f′(1)＝2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)，所以切线方程为2x－y－2＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(x－1)＋mx＝2x2－2x＋mx，令g(x)＝2x2－2x＋m，x>0，其图象的对称轴为x＝12，g12＝m－12，g(0)＝m.①当g12≥0，即m≥12时，g(x)≥0，即f′(x)≥0，此时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当g12<0且g(0)>0，即02时，a2>a＋2，可得当x∈(－∞，a＋2)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(a＋2，a2)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；当x∈(a2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数．∴当x＝a＋2时，函数f(x)有极大值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极小值f(a2)．③当－10，函数f(x)为增函数；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数．∴当x＝a＋2时，函数f(x)有极小值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极大值f(a2)．5．已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋2＝a＋2xx.当a＝－4时，f′(x)＝2x－4x.∴当02时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln2.(2) f′(x)＝a＋2xx，∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单...
