1专题强化训练(二十)概率与统计1．[2019·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X～B3，23，从而P(X＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.所以，随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)＝3×23＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B3，23，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝827×29＋49×127＝20243.2．[2019·合肥质检二]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案，方案一：交纳延保金7000元，在延保的2年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的2年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机2器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金及维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.P(X＝0)＝110×110＝1100，P(X＝1)＝110×15×2＝125，P(X＝2)＝15×15＋25×110×2＝325，P(X＝3)＝110×310×2＋15×25×2＝1150，P(X＝4)＝25×25＋310×15×2＝725，P(X＝5)＝25×310×2＝625，P(X＝6)＝310×310＝9100，∴X的分布列为X0123456P110012532511507256259100(2)选择延保方案一，所需费用Y1的分布列为Y170009000110001300015000P1710011507256259100EY1＝17100×7000＋1150×9000＋725×11000＋625×13000＋9100×15000＝10720(元)．选择延保方案二，所需费用Y2的分布列为Y2100001100012000P671006259100EY2＝67100×10000＋625×11000＋9100×12000＝10420(元)． EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．3．[2019·石家庄一模]东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该3食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：销售量(份)15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望．(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？解：(1)根据题意可得ξ的可能取值为30,31,32,33,34,35,36，P(ξ＝30)＝15×15＝125，P(ξ＝31)＝15×310×2＝325，P(ξ＝32)＝15×25×2＋310×310＝14，P(ξ＝33)＝15×110×2＋310×25×2＝725，P(ξ＝34)＝310×110×2＋25×25＝1150，P(ξ＝35)＝25×110×2＝225，P(ξ＝36)＝110×110＝1100.ξ的分布列如下：ξ30313233343536P1253251472511502251100E(ξ)＝30×125＋31×325＋32×14＋33×725＋34×1150＋35×225＋36×1100＝32.8.(2)当购进32份时，利润为32×4×2125＋(31×4－8)×325＋(30×4－16)×125＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元)．当购进33份时，利润为33×4×59100＋(32×4－8)×14＋(31×4－16)×325＋(30×4－24)×125＝77...
