v1.0可编辑可修改1-1-第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题1．曲线积分()sin()cosxLfxeydxfxydy与路径无关，其中()fx有一阶连续偏导数，且(0)0f，则()fxBA.1()2xxeeB.1()2xxeeC.1()2xxee2．闭曲线C为1xy的正向，则CydxxdyxyC.2C3．闭曲线C为2241xy的正向，则224CydxxdyxyDA.2B.2D.4．为YOZ平面上221yz，则222()xyzdsDB.C.14D.125．设222:Cxya，则22()CxydsCA.22aB.2aC.32aD.34a6.设为球面2221xyz，则曲面积分222dS1xyz的值为[B]A.4B.2C.D.127.设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分Lyds[C]A.21B.21C.22D.228.设I=Ldsy其中L是抛物线2xy上点（0,0）与点(1,1)之间的一段弧,则I=[D]A.655B.1255C.6155D.12155v1.0可编辑可修改2-2-9.如果简单闭曲线l所围区域的面积为，那么是（D）A.lydyxdx21；B.lxdxydy21；C.lxdyydx21；D.lydxxdy21。10．设2222:(0)SxyzRz，1S为S在第一卦限中部分，则有CA.14SSxdsxdsB.14SSydsydsC.14SSzdszdsD.14SSxyzdsxyzds二、填空题1.设L是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分Lydyxeydx)(2-2为球面2222azyx的外侧,则sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(03.12222yxyxxdyydx=24．曲线积分22()Cxyds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为32a5．设∑为上半球面2240zzyx，则曲面积分222dsyxz=32π6.设曲线C为圆周221xy,则曲线积分223dCxyxs2.7.设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分Cds)yx(1+28.设为上半球面224zxy，则曲面积分222d1sxyz的值为83。9.光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是DdyzxzS22)()(110．设L是抛物线3yx上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lxydx12v1.0可编辑可修改3-3-11、cos,sin,30xtytztt设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()Ixyzds则曲线积分221。12、设L为222xya的正向，则22Lxdyydxxy2。三、计算题1．22xyLeds，其中L为圆周221xy，直线yx及x轴在第一象限所围图形的边界。解：记线段OA方程2,02yxx，圆弧AB方程cos,0sin4xy线段OB方程0,01yx。则原式＝22xyOAeds＋22xyABeds＋22xyOBeds＝22202xedx＋40ed＋10xedx＝2(1)4ee＃2．2222[ln()]Lxydxyxyxxydy，其中L为曲线sin,0yxx与直线段0,0yx所围闭区域D的正向边界。解：利用格林公式，22Pxy，22[ln()]Qyxyxxy，则22Pyyxy，222Qyyxxy故原式＝()DQPdxdyxy2Dydxdysin200xdxydy＝3014sin39xdx＃3．22Lydxxdy，其中L为圆周222xyR的上半部分，L的方向为逆时针。解：L的参数方程为cossinxRtyRt，t从0变化到。故原式＝22220[sin(sin)cos(cos)]RtRtRtRtdt＝3220[(1cos)(sin)(1sin)cos]Rttttdt＝343R＃v1.0可编辑可修改4-4-4．求抛物面22zxy被平面1z所割下的有界部分的面积。解：曲面的方程为22,(,)zxyxyD，这里D为在XOY平面的投影区域22{(,)1}xyxy。故所求面积＝221xyDzzdxdy2214()Dxydxdy21200551146drrdr＃5、计算(sin)(cos)xxLeymydxeymdy，其中L为圆222()(0)xayaa的上半圆周，方向为从点(2,0)Aa沿L到原点O。解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式(sin)xPeymy，cosxQeym，cosxPeymy，cosxQeyx于是(sin)(cos)xxLeymydxeymdy＋(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy＝22Dmamdxdy而(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy＝20000adx，于是便有(sin)(cos)xxLeymydxeymdy＝22ma＃6．222222()()()Lyzdxzxdyxydz，其中L为球面2221xyz在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程0cossinxytzt，t从2变化到0。于是v1.0可编辑可修改5-5-222222()()()AByzdxzxdyxydz＝0222[sin(sin)cos(cos)]ttttdt＝43由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydz＃7．(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy，其中为平面1,0,xyzx0,y0z所围立体的表面的外侧。解：记1为该表面在XOY平面内的部分，2为该表面在YOZ平面内的部分，3为该表面在XOZ平面内的部分，4为该表面在平面1xyz内的部分。1的方程为0,01,01zyxx，根据定向，我们有1(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy＝1(1)zdxdy＝010112xyxdxdy同理，21(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy31(1)(1)(1)2xdydzydz...
