最大公约数,典型例题VIP专享VIP免费

典型例题例1．在括号里填符合要求的数：（）与（）是互质数．分析：由于1和除1以外的任何一个自然数互质，所以可填1与2，1与3，1与4⋯⋯由于任意两个不同的质数也只有公约数1，所以括号里又可填2和3，3和5，7和11，13和17⋯⋯由于一个质数与一个合数有时也是互质数，所以可在括号里有选择地填入一个质数和一个合数，如3和4，5和8，7和12⋯⋯由于两个合数也可能是互质数，所以也可以在括号里有选择地填入两个合数，如4和9，8和9，15和16，20和21⋯⋯由于连续的两个自然数一定是互质数，所以可在括号里随意地填入两个连续的自然数，如2和3，3和4，4和5，5和6⋯⋯显然，题目的答案是多种多样的．例2．育新中学甲班有男同学27人，女同学18人，一起去划船（每条船不超过6人）要保证每条船上男女同学都分别相等，请你算一算，应该租几条船？分析与解：因为18和27的最大公约数是9，租9条船，则每条船上坐男同学27÷9＝3（个）；坐女同学18÷9＝2（个），每条船坐3＋2＝5（个）．答：应该租9条船．例3．翠波小学四年级有84人，五年级有108人，六年级有96人．在“助残日”（每年五月第一个星期天）那天，学校把他们分成人数相等的小组，去残疾人、“五保户”等需要社会爱护、帮助的人员家里，去社会福利院等单位奉献爱心，做好人好事．每个小组最多可有多少人？分析：每个年级人数不相等，但要求每个小组人数相等，且要人数为最多．可知题目是要我们求84、108和96三个数的最大公约数．解：2×2×3＝12答：每个小组最多可有12人．例4．一块长方形铁皮长180厘米，宽84厘米．现在要将它剪成相等的正方形铁片，要求边长为整厘米数，剪完后材料无剩余．至少能够剪成多少块？分析：要使剪成的正方形铁片为最少，则正方形的边长必须尽可能地大；要使它剪完后材料无剩余，就要使长方形铁片的长和宽，都能被正方形的边长数整除．可见，剪成的正方形铁片的过长，应该是长方形铁片的长与宽的最大公约数．解：2×2×3＝12所以，剪成的最大正方形铁片，边长是12厘米．然后，看整个长方形铁片面积中，能够包含多少个最大的正方形面积，便是至少能剪成的正方形块数．故能够剪成的正方形块数就是：180×84÷（12×12）＝15120÷144＝105（块）答：至少能剪105块．例5．陈老师买来80支铅笔和80本练习本，奖给班上的优秀学生，每人奖品数量相同．结果，铅笔还少4支，练习本却剩下10本．问：班上的优秀学生最多是多少人？分析：根据题意，优秀学生的人数，正好是（80＋4）与（80一10）这两个数的最大公约数．解：80＋4＝8480－10＝702×7＝14答：班上的优秀学生人数最多是14人．例6．有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？分析：根据题目要求，在分礼物时必须正好分尽这3种果品．因此，礼物的份数必须是320，240，200的的公约数．现在要求最多可以分出多少份同样的礼物，也就是说要求320，240，200的最大公约数．解：因为：320，240，200的最大公约数是40．所以：最多可以分成40份，每份礼物中有苹果：320÷40＝8（个）橘子：240÷40＝6（个）梨：200÷40＝5（个）答：最多可以分成40份同样的礼物．每份礼物中苹果有8个，橘子6个，梨5个．