培优点十八离心率1．离心率的值例1：设1F，2F分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PFF，则椭圆的离心率为（）A．33B．36C．13D．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PFF△，由线段1PF的中点在y轴上，O为12FF中点可得2PFy∥轴，从而212PFFF，又因为1230PFF，则直角三角形12PFF△中，1212::2:1:3PFPFFF，且122aPFPF，122cFF，所以12122323FFcceaaPFPF，故选A．2．离心率的取值范围例2：已知F是双曲线22221xyab0,0ab的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE△是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．1,B．1,2C．1,12D．2,12【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE△为锐角三角形，只需要AEB为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF即可．且AF，FE均可用a，b，c表示，AF是通径的一半，得：2bAFa，FEac，所以222tan1112AFbcacaAEFeFEaacaaca，即1,2e，故选B．一、单选题1．若双曲线2222:10,0xyCabab的一条渐近线经过点2,1，则该双曲线C的离心率为（）A．10B．5C．132D．52【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点2,1，代入byxa，可得：21ba，即12ba，2222512cbeaa，故选D．2．倾斜角为π4的直线经过椭圆222210xyabab右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2AFFB，则该椭圆的离心率为（）A．23B．22C．33D．32【答案】A【解析】设直线的参数方程为2222xctyt，代入椭圆方程并化简得22224112022abtbctb，所以2122222bcttab，412222bttab，由于2AFFB，即122tt，代入上述韦达定理，化简得2228cab，即2229ca，23ca．故选A．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”对点增分集训及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F、2F分别是双曲线222210,0xyabab，的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若1PF，2PF分别是12RtFPF△的“勾”“股”，且124PFPFab，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．5【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PFPFa，所以22124PFPFa，即222121224PFPFPFPFa，由题意得12PFPF，所以222212124PFPFFFc，又124PFPFab，所以22484caba，解得2ba，从而离心率5cea，故选D．4．已知双曲线2212210,0:xyCabab的一个焦点F与抛物线2220:Cypxp的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线1C的离心率为（）A．2B．3C．21D．2【答案】C【解析】设双曲线1C的左焦点坐标为',0Fc，由题意可得：,0Fc，2pc，则,2pAp，,2pBp，即,2Acc，,2Bcc，又：'2AFAFa，2222''2222AFFFAFccc，据此有：2222cca，即21ca，则双曲线的离心率：12121cea．本题选择C选项．5．已知点000,Pxyxa在椭圆2222:10xyCabab上，若点M为椭圆C的右顶点，且POPM（O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．30,3B．0,1C．2,12D．20,2【答案】C【解析】由题意POPM，所以点P在以OM为直径的圆上，圆心为,02a，半径为2a，所以圆的方程为：22224aaxy，与椭圆方程联立得：222210bxaxba，此方程在区间0,a上有解，由于a为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a之间，所以22221aaaba，结合222abc，解得221122ac，根据离心率公式可得212e．故选C．6．已知椭圆222210xyabab，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得120APB，则该椭圆的离心率的最小值为（）A．22B．32C．63D．34【答案】C【解析】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMBAPB，即60AMO，因为tanaOMAb，所以tan603ab，3ab，2223aac，2223ac，223e，63e，故选C．7．已知双曲线22221xyab的左，右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线的右支上，且124PFPF，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．43B．53C．2D．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PFPFa①；又124PFPF，②联立①②解得183PFa，223PFa，在12PFF△中，由余弦定理，得222212644417999cos8288233aacFPFeaa，要求e的最大值，即求12cosFPF的最小值，当12cos1FPF时，解得53e，即e的最大值为53，故选B．解法二：由双曲线的定义知122PFPFa①，又124PFPF，②，联立①②解...
