杭州商学院2008/2009学年第二学期期末考试试卷课程名称：高等数学(下)考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：.题号一二三四五总分分值151548166100得分阅卷人一、填空题（每小题3分，共15分）1、设32yxz，则zd2、求过点)2,3,1(M,且与直线L1837zyx平行的直线方程3、设D为xoy面上的域0,0,222yxRyx，则二重积分d222DyxR4、求函数xyzu在点)5,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)2,4,9(的方向的方向导数为5、若是由曲面zzyx2222所围成的空间闭区域,则vzyxfd),,(在球面坐标系下的累次积分表达式二、选择题（每小题3分，共15分）1、在空间直角坐标系中,方程03222zyx表示()(A)双叶双曲面(B)单叶双曲面(C)抛物柱面(D)双曲柱面2、过原点与平面22zyx垂直的直线方程为()(A)02zyx(B)121zyx(C)121zyx(D)zyx3、函数xyz的极值().(A)等于0(B)不存在(C)存在且不为零(D)是)0,0(4、下列级数中，发散的是()(A)1!2nnnnn(B)112tannnn(C)1)cos1(nn(D)111nnn5、),(00yxfx和),(00yxfy存在是函数),(yxf在点),(00yx连续的（）。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。三、计算下列各题（每小题8分，共48分）1、设)2,(2yxxyfu，其中f具有二阶连续偏导数，求yxuxu2,.2、求2010d1arctandxyyyx3、计算VyxzId)(22，其中为22yxz与2222zyx所围立体.4、求幂级数113)1(nnnnxn的收敛区间与和函数.5、求过直线02201:zyxzyxL且与曲面32exyzz在点(1,2,0)的法线平行的平面方程.6、将函数)322ln(xx展开成关于x的幂级数，并求其收敛区间.四、应用题（每小题8分，共16分）1、在第一挂限内作球面3222xyx的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求切点坐标.2、非均匀立体由曲线022xzy绕z轴旋转一周而成的旋转面与平面2z所围成的立体，其体密度为zzyxe),,(，求该立体的质量.五、证明题（本题6分）若1nna满足(1)0limnna,(2)1212)(nnnaa收敛，则1nna收敛.杭州商学院2008/2009学年第二学期期末考试试答案一填空题（每小题3分，共15分）1.yyxxxyzd3d2d2232.128331zyx3.361R4.195.rrrrrfd)cos,sinsin,cossin(dsind2cos202020二、选择题（每小题3分，共15分）1.A2.C3.B4.D5.D三、计算下列各题（每小题8分，共48分）1、解：2221fyfxu（3分）yxu2=)2(2)2(22221121121fxyffxyfyyf（8分）2、解：2010d1arctandxyyyx110d1arctandyxyyy（3分）10d)1(1arctanyyyyyy10darctan（4分）yyyyy10210d1|arctan（7分）22ln4（8分）3、解;VyxzId)(222221020dddzz(4分)1022d)22(6（8分）4、解：(1)xuunnn31lim1,故当3x时收敛,当3x时发散,即收敛半径为3R,（3分）在端点3x处,由于0limnnu,故发散,即收敛区间为)3,3(;（4分）(2)设113)1()(nnnnxnxS111)3()1(3nnnxnx（5分）])3([331nnxx2)3(3)313(33xxxxx,3x,（8分）5、解:直线方向量)1,1,0(1121111kjiS，曲面的法线的方向向量为)0,1,2(1n所求平面的法向量为)2,2,1(0121101kjin直线上一点为)0,0,1(所求平面方程：122zyx另解：过直线的平面束为：0)22(1zyxzyx（3分）其法向量为:n)1,1,21(，曲面的法线的方向向量为)0,1,2(1n（5分）,1nn即0142，53，所求平面方程：122zyx（8分）6、解：)322ln(xx=)31ln(3ln)1ln(2lnxx(3分)1111)3()1(3ln2ln)1(nnnnnnxnxn（6分）11)311()1(3ln2lnnnnnxn]1,1(x（8分）四、计算下列各题（每小题8分，共16分）1、解：设切点为),,(zyx，则切平面方程为0)(2)(2)(2zZzyYyxXx即3ZzYyXx（3分）四面体的体积V为xyz2761约束条件3222xyx设)3(222xyxxyzF(5分)令3020202222zyxzxyFyxzFxyzFzyx得到)1,1,1(),,(zyx，即切点为)1,1,1(（8分）2、解vemzd（2分）20222dddzyxzyxze（5分）=20d2ezzz=)1(22e（8分）五、（本题6分）证明：nnaaaS2212)()(21221nnaaaa因为级数1212)(nnnaa收敛，所以}{2nS收敛，又因为0limnna12212nnnaSS所以}{2nS}{12nS都收敛，且收敛到同一极限。所以1nna收敛。
