第二部分专题五类型一1．(2018·南昌模拟)我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形．概念理解(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，AB>CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4.在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．(1)解：矩形或正方形．(2)证明：如答图1，延长CD至E，使CE＝BA，连接BE.在△ABC和△ECB中，AB＝EC，∠ABC＝∠ECB，BC＝CB，∴△ABC≌△ECB(SAS)，∴BE＝CA，∠BAC＝∠E. AC＝DB，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠E，∴∠CDB＋∠BDE＝∠CDB＋∠E＝∠BAC＋∠CDB＝180°，即∠BAC与∠CDB互补．(3)解：存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如答图2，在BC的延长线上取一点E，使得CE＝CD＝4，连接DE，AE，BD，则四边形ABED为邻对等四边形．理由如下： CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED. ∠BCD＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠DEB，∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴BD＝AE，四边形ABED为邻对等四边形． ∠CBA＝∠CAB＝∠CDE＝∠CED，∴△ABC∽△DEC，∴ABBC＝65＝DECE＝DE4，∴DE＝245.2．(2018·淮安)如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝15°；(2)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．(3)如图2，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．解：(1) △ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B＋∠A＝90°，解得∠B＝15°.(2)如答图1，在Rt△ABC中， ∠B＋∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B＋2∠BAD＝90°，∴△ABD是“准互余三角形”． △ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠B＋∠BAE＝90°. ∠B＋∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠B. ∠C＝∠C＝90°，∴△CAE∽△CBA，∴CA2＝CE·CB，∴CE＝165，∴BE＝5－165＝95.(3)如答图2，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD. ∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点A，B，F共线，∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC. ∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，设FB＝x，则有x(x＋7)＝122，∴x＝9或x＝－16(舍去)，∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝AF2＋CF2＝162＋122＝20.3．(2015·江西)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.特例探索(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝____25____，b＝____25____.如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝____213____，b＝____27____.归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3，求AF的长．解：(1) AF⊥BE，∠ABE＝45°，∴AP＝BP＝22AB＝2. AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF＝12AB＝2，∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1.在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF＝12＋22＝5，∴AC＝BC＝25，∴a＝b＝25.如答图1，连接EF.同理可得EF＝12×4＝2. EF∥AB，∴△PEF∽△PBA，∴PFAP＝PEPB＝EFAB＝12.在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°，∴AP＝2，PB＝23，∴PF＝1，PE＝3.在Rt△APE和Rt△BPF中，AE＝7，BF＝13，∴a＝213，b＝27.(2)猜想：a2＋b2＝5c2，证明如下：如答图2，连接EF.设∠...
