沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：点对称问题教学目标1.掌握两点的中点坐标公式；2.掌握一个点关于已知点的对称点坐标公式；3.会求解点对称的相关问题知识梳理1.若11(,)Axy，22(,)Bxy，则AB的中点坐标是1212(,)22xxyy2.(,)Pxy关于(,)Mab的对称点坐标是(2,2)axby典例精讲例1.（★）已知点(1,2)A,(3,4)B,点,MN满足：M为AB中点，B为AN中点，（1）求M的坐标。（2）求N的坐标。【答案】：（1）M为AB中点，坐标为1324(,)22，即(2,3)；（2）解法一：设(,)Nxy，则12(,)(3,4)22xy，所以132242xy解得56xy，所以N的坐标为(5,6)解法二：因为B为AN中点，所以N的坐标为(231,242),即为(5,6)【批注】：一般地，若11(,)Axy，22(,)Bxy，则AB的中点坐标是1212(,)22xxyy一般地，(,)Pxy关于(,)Mab的对称点坐标是(2,2)axby例2.（★★）已知12:30,:30lxylxy，点P为直线1l上的动点，定点(1,4)A，当AP的中点M落在2l上的时候，求P的坐标【答案】：设(,3)Pxx，则17(,)22xxM，代入2l的方程得，173022xx，解得1x(1,2)P【批注】：一般地，若11(,)Axy，22(,)Bxy，则AB的中点坐标是1212(,)22xxyy例3.（★★）已知P为直线:230lxy上的动点，P关于(3,2)M的对称点为P，记(2,1)N，当线段NP的长度为5的时候，求P的坐标【答案】：设(,32)Pxx，则(6,12)Pxx，22||(4)(22)5NPxx,求得1x所以P的坐标为(1,1)或(1,5)【批注】：一般地，(,)Pxy关于(,)Mab的对称点坐标是(2,2)axby例4.（★★）直线l被两条直线1:430lxy和2:3550lxy截得的线段中点为(1,2)P，求直线l的方程【答案】：设点(,)ab在1l上，依题意，(2,4)ab在直线2l上,∴05)4(5)2(3034baba,解之得：52ba由两点式得直线AB的方程为:310xy。例5.（★★）求直线:230lxy关于(3,1)P的对称直线l的方程【答案】：解法一：显然ll∥，所以设l的方程为20xyC，点P与l和l的距离应是相等的，所以2222323321212C解得1C（3C舍）l的方程为:210lxy解法二：设l上任一点(,)xy，它关于(3,1)P的对称点为(6,2)xy应在l上所以(6)2(2)30xy，整理得210xy例6.（★★）已知直线12:210,:220lxylxy，直线3l到2l的距离与1l到2l的距离相等，求直线3l的方程。【答案】：设3l的方程：20xyC，则由题意有22221221212C，解得3C（1C舍）【批注】：（1）一般地，与直线10AxByC和20AxByC平行且距离相等的直线位于他们的正中间，其方程为1202CCAxBy（2）直线10AxByC关于20AxByC的对称直线方程为：2120AxByCC课堂检测1.（★★）已知点P为直线:3410lxy上的动点，定点(3,5)A，AP的中点纵坐标为2，求点P的坐标【答案】：(1,1)2.（★★）已知P为直线:10lxy上的动点，P关于(1,2)M的对称点为P，记(1,6)N，当线段NPl的时候，求P的坐标【答案】：(2,1)3.（★★）过点(3,0)P作一直线，使它夹在两直线1220lxy：和230lxy：之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程。【答案】：设所求直线分别与12ll、交于AB、因为A在1l直线上故可设(22)Att，又(3,0)P为AB的中点由中点坐标公式，得(622)Btt，由B在2l上，得(6)(22)30tt解得113t，即1116()33A，由两点式得所求直线方程为8240xy4.（★★）求直线:3420lxy关于(1,1)P的对称直线l的方程【答案】：3440xy5.（★★）已知直线12:30,:50lxylxy，直线3l与1l和2l的距离相等，求直线3l的方程。【答案】：40xy
