沪教版上海高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：点对称问题VIP专享VIP免费

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：点对称问题教学目标1.掌握两点的中点坐标公式；2.掌握一个点关于已知点的对称点坐标公式；3.会求解点对称的相关问题知识梳理1.若11(,)Axy，22(,)Bxy，则AB的中点坐标是1212(,)22xxyy2.(,)Pxy关于(,)Mab的对称点坐标是(2,2)axby典例精讲例1.（★）已知点(1,2)A,(3,4)B,点,MN满足：M为AB中点，B为AN中点，（1）求M的坐标。（2）求N的坐标。【答案】：（1）M为AB中点，坐标为1324(,)22，即(2,3)；（2）解法一：设(,)Nxy，则12(,)(3,4)22xy，所以132242xy解得56xy，所以N的坐标为(5,6)解法二：因为B为AN中点，所以N的坐标为(231,242),即为(5,6)【批注】：一般地，若11(,)Axy，22(,)Bxy，则AB的中点坐标是1212(,)22xxyy一般地，(,)Pxy关于(,)Mab的对称点坐标是(2,2)axby例2.（★★）已知12:30,:30lxylxy，点P为直线1l上的动点，定点(1,4)A，当AP的中点M落在2l上的时候，求P的坐标【答案】：设(,3)Pxx，则17(,)22xxM，代入2l的方程得，173022xx，解得1x(1,2)P【批注】：一般地，若11(,)Axy，22(,)Bxy，则AB的中点坐标是1212(,)22xxyy例3.（★★）已知P为直线:230lxy上的动点，P关于(3,2)M的对称点为P，记(2,1)N，当线段NP的长度为5的时候，求P的坐标【答案】：设(,32)Pxx，则(6,12)Pxx，22||(4)(22)5NPxx,求得1x所以P的坐标为(1,1)或(1,5)【批注】：一般地，(,)Pxy关于(,)Mab的对称点坐标是(2,2)axby例4.（★★）直线l被两条直线1:430lxy和2:3550lxy截得的线段中点为(1,2)P，求直线l的方程【答案】：设点(,)ab在1l上，依题意，(2,4)ab在直线2l上,∴05)4(5)2(3034baba,解之得：52ba由两点式得直线AB的方程为:310xy。例5.（★★）求直线:230lxy关于(3,1)P的对称直线l的方程【答案】：解法一：显然ll∥，所以设l的方程为20xyC，点P与l和l的距离应是相等的，所以2222323321212C解得1C（3C舍）l的方程为:210lxy解法二：设l上任一点(,)xy，它关于(3,1)P的对称点为(6,2)xy应在l上所以(6)2(2)30xy，整理得210xy例6.（★★）已知直线12:210,:220lxylxy，直线3l到2l的距离与1l到2l的距离相等，求直线3l的方程。【答案】：设3l的方程：20xyC，则由题意有22221221212C，解得3C（1C舍）【批注】：（1）一般地，与直线10AxByC和20AxByC平行且距离相等的直线位于他们的正中间，其方程为1202CCAxBy（2）直线10AxByC关于20AxByC的对称直线方程为：2120AxByCC课堂检测1.（★★）已知点P为直线:3410lxy上的动点，定点(3,5)A，AP的中点纵坐标为2，求点P的坐标【答案】：(1,1)2.（★★）已知P为直线:10lxy上的动点，P关于(1,2)M的对称点为P，记(1,6)N，当线段NPl的时候，求P的坐标【答案】：(2,1)3.（★★）过点(3,0)P作一直线，使它夹在两直线1220lxy：和230lxy：之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程。【答案】：设所求直线分别与12ll、交于AB、因为A在1l直线上故可设(22)Att，又(3,0)P为AB的中点由中点坐标公式，得(622)Btt，由B在2l上，得(6)(22)30tt解得113t，即1116()33A，由两点式得所求直线方程为8240xy4.（★★）求直线:3420lxy关于(1,1)P的对称直线l的方程【答案】：3440xy5.（★★）已知直线12:30,:50lxylxy，直线3l与1l和2l的距离相等，求直线3l的方程。【答案】：40xy