沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之面面角（二面角）教学目标（1）掌握二面角的几种求法；（2）掌握线二面角问题的综合应用。知识梳理二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的大小用它的平面角来度量。说明：①二面角的平面角范围是[0,180]oo；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直平面角的作法：（1）定义法：过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角；（2）三垂线定理及其逆定理法；典例精讲例1.（★★★★）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°【答案】:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面,其面积为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了.PB面ABCD,∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，∴PA⊥DA，∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB=60°.而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=3a,3233331aaaV锥.（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，CEACEDCEAE故,90,是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，.22aADAEOAa在.0)2)(2(2)2(cos,2222AEOAAEOAAEECAEOAECAEAECAEC中故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.变式练习：1.（★★★★）正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________【答案】：60o2.（★★★★）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是______【答案】：133.（★★★★）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______【答案】：6arcsin3例2.（★★★★）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=23，D为AB的中点.（1）求证：AB1⊥平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.【答案】:（1） D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.ABCDA1EB1C1∴CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，∴AB1⊥平面CDE；（2）由CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥DE AB1⊥平面CDE∴DE⊥AB1∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 CE=23，AC=1,∴CD=.22∴21)()(22CDCEDE；（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC,∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.在Rt△CEA中，CE=23，BC=AC=1,∴∠B1AC=600∴260cos121AB，∴2)()(2211ABABBB,∴2tan11BCBBCBB,∴2arctan1CBB.变式练习：1.（★★★★）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______【答案】：132.（★★★★）二面角α-l-β的平面角为120°，A、B∈l，ACα，BDβ，AC⊥l，BD⊥l，若AB=AC=BD=1，则CD的长______【答案】：23.（★★★★）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为______【答案】：3arctan2例3.（★★★★）如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=.900（I）求三棱锥D—ABC的体积；（2）求二面角D—AC—B的大小；（3）求异面直线AB、CD所成的角.【答案】：(1)过D向平面做垂线，垂足为O，连结OA并延长至E.DAEOAABDAOAADAB,,上的射影在平面为为二面角a—l—的平面角..60,120DAODAE3,2DOABAD.ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2.,1ABCS又D到平面的距离DO=.3.33ABCDV（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO为二面角D—AC—B的平面角.又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且.22,45OMCAEOAM.6arctan.6tanDMODMO（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.ACFCAFDFCFAFCFAFAB即又,45,,为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△AB...
