等腰三角形的性质定理和判定定理VIP专享VIP免费

一.本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二.教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。三.重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四.教学过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言： AB=AC AB=AC AB=AC∠1=∠2AD⊥BCBD=DC∴AD⊥BC，BD=DC∴∠1=∠2∴∠1=∠2BD=DCAD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中 ∠B=∠C∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。【典型例题分析】基础知识应用题：例1.如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。解： AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。例2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。求证：△DEF是等腰三角形。证明： ∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中∠BDE=∠FEC中（已证）BD=CE（已知）∠B=∠C（已知）∴△BED≌△CFE（ASA）∴DE=EF（全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）综合应用题：例3.已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明： AB∥CD（已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等） OA=OB（已知）∴∠A=∠B（等边对等角）∴∠C=∠D（等量代换）∴OC=OD（等角对等边）例4.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。证法一：证明：作DE⊥AB于E DA=DBDE⊥AB∴AE=BE= AB=2AC∴AE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF AB=2AC，AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DB DA=DB∴DA=DF又 AC=CF∴DC⊥AF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。例5.求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE证明： BD，CE是△ABC的中线∴AE=AB，AD=AC AB=AC∴AE=AD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE（全等三角形的对应边相...