1第2课时数列的综合应用题型一数列和解析几何的综合问题例1(2004·浙江)已知△OBC的三个顶点坐标分别为O(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn＋3为线段PnPn＋1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，an＝12yn＋yn＋1＋yn＋2.(1)求a1，a2，a3及an的值；(2)求证：yn＋4＝1－yn4，n∈N*；(3)若记bn＝y4n＋4－y4n，n∈N*，求证：{bn}是等比数列．(1)解因为y1＝y2＝y4＝1，y3＝12，y5＝34，所以a1＝a2＝a3＝2，又由题意可知yn＋3＝yn＋yn＋12，所以an＋1＝12yn＋1＋yn＋2＋yn＋3＝12yn＋1＋yn＋2＋yn＋yn＋12＝12yn＋yn＋1＋yn＋2＝an，所以{an}为常数列，所以an＝a1＝2，n∈N*.(2)证明将等式12yn＋yn＋1＋yn＋2＝2两边除以2得14yn＋yn＋1＋yn＋22＝1.又因为yn＋4＝yn＋1＋yn＋22，所以yn＋4＝1－yn4，n∈N*.(3)证明因为bn＋1＝y4n＋8－y4n＋4＝1－y4n＋44－1－y4n4＝－14(y4n＋4－y4n)＝－14bn，又因为b1＝y8－y4＝－14≠0，2所以{bn}是首项为－14，公比为－14的等比数列．思维升华利用题目中曲线或直线上点的坐标之间的关系，得到数列的递推关系，然后利用数列的递推关系寻求数列通项，从而求解题目．跟踪训练1(2016·浙江)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A．{Sn}是等差数列B．{S2n}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d2n}是等差数列答案A解析作A1C1，A2C2，A3C3，⋯，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，⋯，Cn，则A1C1∥A2C2∥⋯∥AnCn. |AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，则|A3C3|＝2b－a，⋯，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，∴Sn＝12c[(n－1)b－(n－2)a]＝12c[(b－a)n＋(2a－b)]，∴Sn＋1－Sn＝12c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝12c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．题型二数列与不等式的综合问题命题点1可求通项的裂项放缩例2已知数列{}an满足1an＋1＝12an＋12且a1＝4(n∈N*)．(1)求数列{}an的通项公式；(2)设bn＝a2n－an，且Sn为{}bn的前n项和，证明：12≤Sn<15.3(1)解由1an＋1＝12an＋12得，1an＋1－1＝121an－1，由a1＝4得1a1－1＝－34，所以数列1an－1是首项为－34，公比为12的等比数列．所以1an－1＝1a1－112n－1＝－3412n－1，即an＝2n＋12n＋1－3.(2)证明bn＝a2n－an＝3·2n＋12n＋1－32，又Sn＋1－Sn＝bn＋1＝3·2n＋22n＋2－32>0，故Sn是关于n的递增数列，故Sn≥S1＝b1＝a21－a1＝12.当k≥2时，bk＝a2k－ak＝3·2k＋12k＋1－32<3·2k＋12k＋1－32k＋1－4＝3·2k2k＋1－32k－2<3·2k2k＋1－32k－3＝312k－3－12k＋1－3，故当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋⋯＋bn＝12＋b2＋b3＋⋯＋bn<12＋3122－3－123－3＋123－3－124－3＋⋯＋12n－3－12n＋1－3＝15－32n＋1－3<15.又n＝1时，S1＝12<15，综上有12≤Sn<15.命题点2可求通项构造放缩例3(2018·湖州调研)已知数列{an}满足a1＝25，an＋1＝2an3－an，n∈N*.(1)求a2；(2)求1an的通项公式；(3)设{an}的前n项的和为Sn，求证：651－23n≤Sn<2113.4(1)解由条件可知a2＝2a13－a1＝413.(2)解由an＋1＝2an3－an，得1an＋1＝32·1an－12，即1an＋1－1＝321an－1，又1a1－1＝32≠0，所以1an－1是首项为32，公比为32的等比数列，则1an－1＝32×32n－1＝32n，所以1an＝32n＋1.(3)证明由(2)可得an＝132n＋1≥132n＋32n－1＝25·23n－1.所以Sn≥25＋25·231＋⋯＋25·23n－1＝651－23n，故Sn≥651－23n成立．另一方面an＝132n＋1<132n＝23n，Sn＝a1＋a2＋a3＋⋯＋an<25＋413＋233＋234＋⋯＋23n＝4665＋89－89·23n－2<4665＋89<2113，n≥3，又S1＝25<2113，S2＝4665<2113，因此Sn<2113，n∈N*.5所以651－23n≤Sn<2113.命题点3不可求通项裂项放缩例4(2018·杭州模拟)设数列{an}满足a1＝13，an＋1＝an＋a2nn2(n∈N*)．(1)证明：an
0，所以an＋1＝an＋a2nn2>a...
