1常微分方程第一、二、三次作业参考答案1、给定一阶微分方程2dyxdx：（1）求出它的通解；解：由原式变形得：2dyxdx.两边同时积分得2yxC.（2）求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C即通过点（2,3）的特解为：21yx.（3）求出与直线23yx相切的解；解：依题意联立方程组：223yxCyx故有：2230xxC。由相切的条件可知：0，即2(2)4(3)0C解得4C故24yx为所求。（4）求出满足条件303ydx的解。解：将2yxC代入330dy，可得2C故22yx为所求。2、求下列方程的解。１）3xydydx2）233331dyxydxxy解：依题意联立方程组：223303310xyxy解得：2x，73y。则令2Xx，73Yy。故原式可变成：2333dYxydXxy.令YuX，则dyXduudx，即有233263udxduuux.两边同时积分，可得122(263)||uuCX.将732yux，2Xx代入上式可得：12227()614323|2|2(2)yyCxxx.即上式为所求。3、求解下列方程:1)24dyxyxdx.解：由原式变形得：22dyxdxy.两边同时积分得：12ln|2|yxC.即上式为原方程的解。2)()xdyxyedx.解：先求其对应的齐次方程的通解：()0dyxydx.进一步变形得：1dydxy.两边同时积分得：xyce.3利用常数变异法，令()xycxe是原方程的通解。有(())xxdcxexyedx.整理得：1()dcxdxx.两边同时积分得()ln||cxxc.故原方程的通解为：(ln||)xyxce.53)dyyxydx；解：令4zy，代入方程整理得'44zzx解得:4144xCzxe即44144xCyxe.2234)42(1)0xydxxydy解：由原式化简整理得：331332224()203ydxxdyydy两边同时积分得：313224403xyyC4、叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。一阶微分方程（1）其中是在矩形域上的连续函数。定义1如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。4定理1如果在上连续且关于满足Lipschitz条件，则方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里，。5、求方程2dyxydx通过点(1,0)的第二次近似解。解：令0)(0x则200200121)()(xxdxdxyxyxxx522200210220121])21([])([)(xxdxxxdxxxyxxx6、讨论方程2dyydx通过点(1,1)的解和通过点(3,1)的解的存在区间。解：此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是：1yCx故通过(1,1)的积分曲线为：12yx，它向左可无限延展，而当2x时，y→+∞,所以，其存在区间为(-∞,2)。7、考虑方程22()(,),dyyafxydx假设(,)fxy及'(,)yfxy在xOy平面上连续，试证明：对于任意0x及0||ya，方程满足00()yxy的解都在(,)上存在。证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，ya为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知足00()yxy，0x任意，0||ya的解()yyx上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，()yyx又不能穿过直线ya，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在。8、设''21yx（1）验证函数4212122xxyCxC是方程的通解；解：由2''1yx，易得4212122xxycxc.5故得以验证（2）求满足初始条件'00|1,|2xxyy的特解；解：由2''1yx，可得31'3yxxc.由0'|0xy可得10c422122xxyc.由0|2xy可知22c.所以所求特解为422122xxy.（3）求满足初始条件13|2,|5xxyy的特解。解：由1|2xy，3|5xy代入4212122xxycxc.解得113c，274c.故所求特解为：421712234xxyx.9、求解下列微分方程1）、22320dydyydxdx2）、224sindyyxdx3）、22265tdxdxxedtdt解：1）、这里特征根方程为：2320，有两个特征根122,1，因此它的通解为：212ttycece.解：2）、这里特征根方程为：210，它的特征根为1,2i，因此它对应的齐次方程的通解为：01ixyce.考虑4ixwwe，它的一个特解为：42sin2cos()ixpxewxxixxPi.取它的虚部作为原方程的一个特解，则62cospyxx.根据解的结构基本定理，原方程的通解为：012cositpyyycexx.解：3）、这里特征根方程为：2650，有两个特征根125,1，因此它对应的齐次方程的通解为：5012ttycece.考虑原方程265txxxe，它的一个特解为：22(2)21ttpeewP.根据解的结构基本定理，原方程的通解为：2501221tttpeyyycece.10、将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题:1）''''27,(1)7,(1)2txxtxexx2）(4)'''''',(0)1,(0)2,(0)2,(0)0txxexxxx解：...
