直接证明与间接证明VIP免费

第五节直接证明与间接证明————————————————————————————————[考纲传真]1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示P?Q1→Q1?Q2→⋯→Qn?QQ?P1→P1?P2→⋯→得到一个明显成立的条件书写格式因为⋯，所以⋯或由⋯，得⋯要证⋯，只需证⋯，即证⋯2.间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法B[要证明3＋7<25成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.]4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则ba与b＋xa＋x的大小关系是__________．b＋xa＋x>ba[ b＋xa＋x－ba＝xa－ba＋xa>0，∴b＋xa＋x>ba.]5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．等边[由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形．]综合法已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．[证明](1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.2分在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，4分所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.5分(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点.8分同理，P点也是α与β的公共点.9分所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.12分[规律方法]综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1]已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－12x2＋13x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x)．[解](1)f′(x)＝11＋x，g′(x)＝b－x＋x2，2分由题意得g0＝f0，f′0＝g′0，解得a＝0，b＝1.5分(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x>－1)．h′(x)＝1x＋1－x2＋x－1＝－x3x＋1.8分所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).12分分析法已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.【导学号：31222227】[证明]要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.2分因为a>0，故只需要证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2...