FEDCBA立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理18）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，1EF，,90FBFCBFC，3AE.（1）求证：AB平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值.变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD中，E是BC的中点，2,1,5,DBDCBC2.ABAD将左图沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60,如右图.（1）求证：AE平面;BDC（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.变式2：[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．热点二：二面角例2．[2014·广东卷]如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值．变式3：[2014·浙江卷]如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小．变式4：[2014·全国19]如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小．热点三：无棱二面角例3．如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，23AB.（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.变式5：在正方体1111ABCDABCD中，1KBB，1MCC，且114BKBB，134CMCC．求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值．变式6：如图1111ABCDABCD是长方体，AB＝2，11AAAD，求二平面1ABC与1111ABCD所成二面角的正切值．高考试题精选1．[2014·四川，18]三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A-NP-M的余弦值．2．[2014·湖南卷]如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．3．[2014·江西19]如图1-6，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．MOHFEDCBA立体几何专题复习答案例1.（2014，广二模）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1AMMB， EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFEAB，∴EF∥AB，即EF∥MB.⋯⋯⋯⋯⋯1分 EFMB1∴四边形EMBF是平行四边形.⋯⋯⋯⋯⋯2分∴EM∥FB，EMFB.在Rt△BFC中，2224FBFCBC，又FBFC，得2FB.∴2EM.⋯⋯⋯⋯⋯3分在△AME中，3AE，1AM，2EM，∴2223AMEMAE，∴AMEM.⋯⋯⋯⋯⋯4分∴AMFB，即ABFB. 四边形ABCD是正方形，∴ABBC.⋯⋯⋯⋯⋯5分 FBBCB，FB平面BCF，BC平面BCF，∴AB平面BCF.⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）证法1：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接,OHEO，FH，则OH∥AB，112OHAB.由（1）知EF∥AB，且12EFAB，∴EF∥OH，且EFOH.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EOFH.⋯⋯⋯⋯⋯7分由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，∴FHAB.⋯⋯⋯⋯⋯8分 FHBC，,ABBCBAB平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯9分∴EO平面ABCD. AO平面ABCD，∴EOAO.⋯⋯⋯⋯⋯10分 AOBD，,EOBDOEO平面EBD，BD平面EBD，∴AO平面EBD.⋯⋯⋯⋯⋯11分zyxMOHFEDCBA∴AEO是直线AE与平面BDE所成的角.⋯⋯⋯⋯⋯12分在Rt△AOE中，tan2AOAEOEO.⋯⋯⋯⋯⋯13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2.⋯⋯⋯⋯⋯14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接,OHEO，FH，则OH∥AB，112OHAB.由（1）知EF∥AB，且12EFAB，∴EF∥OH，且EFOH.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EOFH.⋯⋯⋯⋯⋯7分由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，∴FHAB. FHBC，,ABBCB...
