立体几何几种常见题型一、求体积，距离型1．（2013年高考陕西卷（文））如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,12ABAA.OD1B1C1DACBA1(Ⅰ)证明:A1BD//平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.12．（2013年高考福建卷（文）如图,在四棱锥PABCD中,PDABCD面,//ABDC,ABAD,5BC,3DC,4AD,60PAD.(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若M为PA的中点,求证://DMPBC面;(3)求三棱锥DPBC的体积.83DPBCV3．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=错误！未找到引用源。,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I)证明:AD⊥C1E;(II)当异面直线AC,C1E所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.324．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABCABC中,CACB,1ABAA,160BAA.(Ⅰ)证明:1ABAC;(Ⅱ)若2ABCB,16AC,求三棱柱111ABCABC的体积.3C1B1AA1BC5．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1//平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2错误！未找到引用源。,求三棱锥C一A1DE的体积.6．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,60BAD.已知2,6PBPDPA.(Ⅰ)证明:PCBD(Ⅱ)若E为PA的中点,求三菱锥PBCE的体积.0.5【答案】解:(2)由(1)BD⊥面PAC45sin3262121PACPECSS△△=32236111132322PBECBPECPECVVSBO7．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=错误！未找到引用源。,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离1052,5dd(2)1111111123ABCEABCVAAS三棱锥的体积＝＝221111111112RtADCACADDC在中，＝=3,同理,22112ECECCC＝=3，222113EAADEDAA＝=2因此115ACES3.设点B1到平面11EAC的距离为d,则111BEAC三棱锥的体积11153AECVdSd＝＝,从而1052,5dd二、有关折叠型。8．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,,DE分别是,ABAC边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中22BC.(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当23AD时,求三棱锥FDEG的体积FDEGV.图4GEFABCD图5DGBFCAE9.如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE，设点F是AB的中点.(1)求证：DE⊥平面BCD；32(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积.(1)证明 AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°. CD为∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝23. CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE2＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos30°＝4，∴DE＝2，则CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.又 平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，∴DE⊥平面BCD.(2)解 EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG. 点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.如图，作BH⊥CD于H. 平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.由条件得BH＝32，S△DEG＝13S△ACD＝13×12AC·CD·sin30°＝3，∴三棱锥B－DEG的体积V＝13S△DEG·BH＝13×3×32＝32.10.(2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2).(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又因为BE?平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，...
