18/5五、竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型.一、两种模型模型1：“轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，vgR0矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。(2)小球能通过最高点的条件：vgR，当vgR时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：vgR，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.模型2：“轻杆类”聞創沟燴鐺險爱氇谴净。有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0v0(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当0v时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即Nmg；②当0vgR时，因2vmgNmR,则2vNmgmR.轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0mgN．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。③当vgR时，0N；④当vgR时，则2vmgNmR，即2vNmmgR，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v≠gR(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体.二、两种模型的应用【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是vRg临界，根据机械能守恒定律得2122mghmgRmv临界把vRg临界代入上式得：min52hR．【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B受到三个力作用:电场力FqE，方向竖直向上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式，有2BvmgNqEmR彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv为临界速度，临界条件是0N．由此可列出小球的临界状态方程为2BvmgqEmR①根据动能定理，有21()(2)2BmgqEhRmv②解之得：min52hR謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。说明把②式中的mgqE换成2BvmR，较容易求出图1图2图3图4图5图619/5min52hR【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv为临界速度，临界条件是0N．由此可列出小球的临界状态方程为：2BvmgqEmR①根据动能定理，有21()(2)2BmgqEhRmv②由上述二式解得：min52hR小结上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度1g”比例1中的重力加速度g减小，例3中的“等效重力加速度2g”比例1中的重力加速度g增大．例2中1vRg临界，211122mghmgRmv临界；例3中2vRg临界，222122mghmgRmv临界．把v临界代...
