第十九讲正态总体均值及方差的区间估计1.单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2NX，),,(21nXXX为来自X的一个样本，已给定置信度（水平）为1，求2的置信区间。①当已知时，由于),(~2NXi，因此，)1,0(~NXi（,2,1in,）。由2分布的定义知：niinX1222)(~)(，据)(2n分布上分位点的定义，有：1)}()()({21222122nXnPnii从而1)()()()(2112221222nXnXPniinii故2的置信度为1的置信区间为：)()(,)()(211221222nXnXniinii②当未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222nSn类似以上过程，得到第七章参数估计第5节正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计①当2已知时，的置信水平为1的置信区间为：2znX（5.1）②当2未知时，的置信水平为1的置信区间为)1(2ntnSX.（5.4）注意：当分布不对称时，如2分布和F分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。1)1()1()1()1(21222222nSnnSnP2的置信度为1的置信区间为：)1()1(,)1()1(2122222nSnnSn的置信度为1的置信区间为：)1()1(,)1()1(2122222nSnnSn例２有一大批袋装糖果,现从中随机地取出16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,求总体标准差的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值未知，的置信度为1的置信区间为：)1()1(,)1()1(2122222nSnnSn此时，,975.021,025.02,05.016n，查表得,488.27)15(025.0,262.6)15(975.0由给出的数据算得.4667.382s因此，的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2.两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211NYNX，且X与Y相互独立，),,(21mXXX来自X的一个样本，),,,(21nYYY为来自Y的一个样本，且设2221,,,SSYX分别为总体X与Y的样本均值与样本方差，对给定置信水平1，求21的一个置信区间。（1）当2221,已知时，由第六章定理1知，),(~211mNX，),(~222nNY，又X与Y相互独立，所以),(~222121nmNYX，即)1,0(~)()(222121NnmYX；所以可以得到21的一个置信水平为1的置信区间为：nmzYX22212)(（2）当22221，但2未知时，由第六章定理4知：)2(~)()(1121nmtSYXnmw其中2wwSS，2)1()1(22212nmSnSmSw，从而可得：21的一个置信水平为1的置信区间为：nmwSnmtYX11)2(2在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。例２:为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口平均速度为)/(5001smx，标准差)/(10.11sms，取Ⅱ型子弹20发，得到枪口平均速度为)/(4962smx，标准差)/(20.12sms，假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等，求两总体均值差21的置信度为0.95的置信区间。解：结合实际，可认为来自两个总体的样本相互独立。因两个总体的方差相等，却未知，所以21的一个置信水平为1的置信区间为：nmwSnmtYX11)2(2其中2wwSS，2)1()1(22212nmSnSmSw此处，,025.02/,95.0120,10nm,282nm,查表得0484.2)28(025.0t，又2820.11910.19222ws,1688.12wwss，故所求置信区间为：93.04)28(201101025.021tsxxw即93.4,07.33.两个正态总体方差比的区间估计设总体),(~),,(~222211NYNX，在该题中所得置信区间的下限大于0，在实际中我们就认为1比2大（可信度为95%）；相反，若下限小于0，则认为1与2没有显著的差别。且X与Y相互独立，),,(21mXXX来自X的一个样本，),,,(21nYYY为来自Y的一个样本，且设2221,,,SSYX分别为总体X与Y的样本均值与样本方差，对给定置信水平1，求2221的一个置信区间。据抽样分布知：)1,1(~//22212221nmFSS由F分布的上分位点的定义知，1)}1,1(//)1,1({22222122211nmFSSnmFP即1)1,1(//)1,1(/221222122212221nmFSSnmFSSP于是得2221的一个置信水平为1的置信区间为：)1,1(/,)1,1(/22122212221nmFSSnmFSS例３:研究由机器A和机器B生产的钢管的内径,随机地抽取机器A生产的管子18只,测得样本方差;34.0221mms抽取机器B生产的管子13只,测得样本方差.29.0222mms...
