经典例题透析类型一：探究型题目1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）思路点拨:在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。解析：总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。举一反三：【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。请你先阅读下面的证明过程。证明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。正确的证明过程是：因为EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。【答案】（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。（2）题的证明过程如下：因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，所以∠ACM=∠BAN。在△ACM和△BAN中，所以ΔACM≌ΔBAN，所以∠M=∠N，所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。类型二：与度数有关的计算2．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。思路点拨:解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。解析： AB=AC∴∠B=∠C AB=BD∴∠2=∠3 ∠2=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠B ∠2+∠3+∠B=180°∴∠B=180°－2∠2∴∠2=∠1+180°－2∠2∴3∠2=∠1+180° ∠1=30°∴∠2=70°总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。举一反三：【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。【答案】 BE=BA∴∠2=∠BAE CD=CA∴∠1=∠CAD ∠1+∠CAD+∠C=180°∴∠1= ∠2+∠BAE+∠B=180°∴∠2=∴∠1+∠2= ∠B+∠C=180°－∠BAC∴∠1+∠2= ∠DAE=180°－（∠1+∠2）∴∠DAE=90°－=90°－61°=29°。【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数。【答案】 AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED ∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD ∠AED=∠C+∠EDC∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD∴∠EDC=∠BAD=15°。类型三：等腰三角形中的分类讨论3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。思路点拨:由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为8时，周长为8+8+10=26；当腰长为10时，周长为10+10+8=28；故这个三角形的周长为26cm或28cm。（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故...
