简化解析几何运算的几种常用方法技巧VIP专享VIP免费

简化解析几何运算的几种常用方法技巧龙源期刊网http://www.qikan.com.cn简化解析几何运算的几种常用方法技巧作者:岳书华来源:《中学生数理化·学研版》2014年第01期1、巧设巧求例1求以坐标轴为对称轴,并且经过两点和的椭圆的标准方程。解:设所求椭圆的方程为椭圆过、解得所求椭圆方程为点拨:本题中所求椭圆方程设为,这是因为题中未给定焦点所在的坐标轴,如若用常规思路去解,需对焦点所在的坐标轴进行讨论,运算过程会很繁琐,本题的设法是恰当合理的。例2已知双曲线的一条渐近线方程是,且过点,求双曲线的标准方程。分析:已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程,再把P点坐标代入方程可求出参数,从而求出双同线方程。解:双曲线的一条渐近线方程为。即双曲线的方程为双曲线过点,所求的双曲线方程为。即点拨:本题利用了共渐近线的双曲线系,避免了对双曲线方程类型讨论,简化了解题过程。2、设而不求例3求焦点为,截直线所得弦中点的横坐标是的椭圆标准方程。分析:本题可用常规解法设出椭圆标准方程,将直线方程与所设椭圆方程联立,并利用中点坐标公式求得,下面用“点差法”求解。b5E2RGbCAP龙源期刊网http://www.qikan.com.cn解：设所求椭圆方程为再设直线被椭圆所截端点、由题意得AB中点坐标为且将A、B两点坐标代入椭圆方程得①-②得由，又故所求椭圆方程点拨：本题对交点采用了“设而不求”的方法，这是解析几何中与弦中点坐标、弦所在直线斜率有关的问题常用的解法技巧。3、数形结合例4如图8-7-2所求，已知抛物线的焦点F，准线，设到的距离，一定点A到直线EF的距离也为，在抛物线上找一点B，使点B到A、F距离之和最小，求此时的面积。分析：求|BA|+|BF|的最小值，可考虑|BF|=|BC|，即求|BA|+|BC|的最小值，由图形可知，当A、B、C三点共线时，其和最小。解：过A作AC，垂足为C，交抛物线于点B，B点即为所求，欲求|BA|+|BF|最小值，即求|BA|+|BC|的最小值，而当A、B、C三点共线时，其和最小，此时直线AC//EF由点A到直线EF的距离为，且，得点拨：本题采用数形结合思想，使问题变得一目了然。例5已知且，试求方程有实数解的的取值范围。分析：本题是方程、不等式的综合题，我们可用数形结合法。由且得，可联想到求使直线与双曲线（轴上方的部分）有公共点时的取值范围。解：方程有解，应满足下列条件p1EanqFDPw龙源期刊网http://www.qikan.com.cn上述条件等价于如图8-7-3所求，平行直线系与等轴双曲线弧有公共点的充要条件是直线在轴上的横截距应满足或，由此得或的取值范围是点拨：此解法主要是构造直线与双曲线，通过直线的位置关系求解。DXDiTa9E3d