初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。.【一线三等角的分类】锐角直角锐2.1全等篇—同侧2.2全等篇—异侧B直C钝角钝角D锐角直角2.3相似篇—同侧锐角2.4相似篇—异侧D直AC钝角锐角直角D钝角三、【性质】1•相似，如图3-1，由Z1=Z2=Z3,或者a二a=a易得△AEC^^BDE.232•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等•如下图，若CE=ED，则△AEC今ABDE•异侧结果同样。3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟4.“中点型一线三等角“的变式（了解）如图3-3，当Z1=Z2且ZBOC-90。+1ZBAC时，点O是厶ABC的内心•可以考虑构造“一线三等角”25.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）图3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a・图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题;c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.IM图注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似引例】例1如图，11、12、13是同一平面内的三条平行线，l、l之间的距离是21/5,12、13之间的距离是21/10,12等边△ABC的三个顶点分别在1、1、1上，求△ABC的边长.123思路引导：【脑洞大开-三角构造】例1如图，四边形ABCD中，ZABC二ZBAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5.求BC的长.横向构造;纵向构造斜向构造斜A相似构造:X-2例2如图，AABC中，ZBAC=45°,AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.纵横斜NA7naDA一线三垂直的补形：角含半角补口*练一练：1.如图，在△ABC中，ZBAC=135°,AC二＜2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=迈,求厶ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt/ABC中，AB=AC=2,ZA=90°,现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在BC中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、F，设BE=x，CF=y，ZBOE=a(45°WaW90°)・(1)试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)试判断ZBEO与ZOEF的大小关系？并说明理由；(3)在三角板绕O点旋转的过程中，/OEF能否成为等腰三角形？若能，求出对应x的值；若不能，请说明理由．FODAD3CEB图例2.如图，AABC和ADEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90。，△DEF的顶点已与厶ABC的斜边BC的中点重合。将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.⑴如图①，当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE^^CQE；⑵如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证:△BPE-^CEQ；并求当BP=a,CQ=9a/2时,P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）.【小题精炼（4题）】1.如图，AABC中，ZB=90°,ZCAD=45°,AB=3,CD=5,求BD的长2.如图，在四边形ABCD中，ZBAD二ZACB二ZACD=45°,AC=4,求厶BCD的周长。3.如图，在RTAABC中，ZACB=30°,DA平分ZCAB,若ZCDB=60°,CA=4V3，求AD的长。4•矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示，点A（2皿0）,点C（0,5），反比例函数y=k的图像交边AB、BC于D、xE两点，且ZD0E=45°，则k二【一线三等角在中考压轴题中的应用】例1：如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧)，BC=2AC,点P是抛物线上一点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；(3)若点P在直线AB的上方，且ZBPC=45°，求所有满足条件的点P的坐标.*y例2：等边△ABC边长为6,P为BC边上一点，ZMPN=60。,且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.(1)如图1，当点P为BC的三等分点，且PE丄AB时，判断AEPF的形状；(2)如图2,若点P在BC边上运动，且保持PE丄AB，设BP=x，四边形AEPF面积...
