初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。.【一线三等角的分类】锐角直角锐2.1全等篇—同侧2.2全等篇—异侧B直C钝角钝角D锐角直角2.3相似篇—同侧锐角2.4相似篇—异侧D直AC钝角锐角直角D钝角三、【性质】1•相似,如图3-1,由Z1=Z2=Z3,或者a二a=a易得△AEC^^BDE.232•当等角所对的边相等时,则两个三角形全等•如下图,若CE=ED,则△AEC今ABDE•异侧结果同样。3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图3-3,当Z1=Z2且ZBOC-90。+1ZBAC时,点O是厶ABC的内心•可以考虑构造“一线三等角”25.“一线三等角”的各种变式(图3-5,以等腰三角形为例进行说明)图3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a・图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题;b.图形中存在“一线二等角”,构造“一等角”模型解题;c.图形中只有直线上一个角,构造“二等角”模型解题.IM图注意:感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景:在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤:找角、定线、构相似引例】例1如图,11、12、13是同一平面内的三条平行线,l、l之间的距离是21/5,12、13之间的距离是21/10,12等边△ABC的三个顶点分别在1、1、1上,求△ABC的边长.123思路引导:【脑洞大开-三角构造】例1如图,四边形ABCD中,ZABC二ZBAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5.求BC的长.横向构造;纵向构造斜向构造斜A相似构造:X-2例2如图,AABC中,ZBAC=45°,AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.纵横斜NA7naDA一线三垂直的补形:角含半角补口*练一练:1.如图,在△ABC中,ZBAC=135°,AC二<2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=迈,求厶ABC的面积思路提示:【中点型一线三等角】例1、如图,在Rt/ABC中,AB=AC=2,ZA=90°,现取一块等腰直角三角板,将45°角的顶点放在BC中点O处,三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、F,设BE=x,CF=y,ZBOE=a(45°WaW90°)・(1)试求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)试判断ZBEO与ZOEF的大小关系?并说明理由;(3)在三角板绕O点旋转的过程中,/OEF能否成为等腰三角形?若能,求出对应x的值;若不能,请说明理由.FODAD3CEB图例2.如图,AABC和ADEF是两个全等的等腰直角三角形,ZBAC=ZEDF=90。,△DEF的顶点已与厶ABC的斜边BC的中点重合。将ADEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.⑴如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE^^CQE;⑵如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE-^CEQ;并求当BP=a,CQ=9a/2时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示).【小题精炼(4题)】1.如图,AABC中,ZB=90°,ZCAD=45°,AB=3,CD=5,求BD的长2.如图,在四边形ABCD中,ZBAD二ZACB二ZACD=45°,AC=4,求厶BCD的周长。3.如图,在RTAABC中,ZACB=30°,DA平分ZCAB,若ZCDB=60°,CA=4V3,求AD的长。4•矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示,点A(2皿0),点C(0,5),反比例函数y=k的图像交边AB、BC于D、xE两点,且ZD0E=45°,则k二【一线三等角在中考压轴题中的应用】例1:如图,直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧),BC=2AC,点P是抛物线上一点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值;(3)若点P在直线AB的上方,且ZBPC=45°,求所有满足条件的点P的坐标.*y例2:等边△ABC边长为6,P为BC边上一点,ZMPN=60。,且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.(1)如图1,当点P为BC的三等分点,且PE丄AB时,判断AEPF的形状;(2)如图2,若点P在BC边上运动,且保持PE丄AB,设BP=x,四边形AEPF面积...