中考数学压轴题——二次函数与相似三角形的综合例题：（2014衡阳）已知某二次函数的图象与轴分别相交于点和点，与轴相交于点，顶点为点
⑴求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；⑵如图①，当时，点为第三象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，试求出与点的横坐标之间的函数关系式及的最大值；⑶如图②，当取何值时，以、、三点为顶点的三角形与相似
解：⑴∵该二次函数的图象与轴分别相交于点和点，∴设该二次函数的解析式为∵该二次函数的图象与轴相交于点，∴，故∴该二次函数的解析式为⑵当时，点的坐标为，该二次函数的解析式为∵点的坐标为，点的坐标为∴直线的解析式为，即过点作轴于点，交于点∵点为第三象限内抛物线上的一个动点且点的横坐标为∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为∴∴当时，有最大值；图①图②另解：∵，∴，∴，∴，∴（其余略）⑶∵，∴点的坐标为∴∵是直角三角形，∴欲使以、、三点为顶点的三角形与相似，必有①若在中，，则，即化简整理得：，∵，∴（舍去负值）此时，，，∴∵且，∴与相似，符合题意；②若在中，，则，即化简整理得：，∵，∴（舍去负值）此时，，，∴虽然，但是，∴与不相似，应舍去；∴综上所述，只有当时，以、、三点为顶点的三角形与相似
练习：（2013辽宁营口）如图，抛物线与x轴交于A()0,1、)03(，B两点，与y轴交于点C(),3,0设抛物线的顶点为D
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标
（2）试判断△BCD的形状,并说明理由
（3）探究坐标轴上是否存在点P,使得以CAP、、为顶点的三角形与△BCD相似
若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
答案：（1）抛物线的解析式为322xxy
顶点D的坐标为)4,1（(2)△BCD是直角三角形
理由略（3）坐标轴上存在点P,使得以CAP、、为顶点的三角形与△BCD相似
符合条件的点P的坐标为：)09(),310()
