专题八数学思想方法第3讲分类讨论思想思想方法概述热点分类突破真题与押题思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.2.分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则(1)不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.4.解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论热点二由图形位置或形状引起的讨论热点三由参数引起的分类讨论热点分类突破热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1(1)(2014·浙江)设函数f(x)＝x2＋x，x<0，－x2，x≥0，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________.解析f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤2.答案a≤2(2)在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝________.解析当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3a1＝92，显然成立；当q≠1时，由题意，得a1q2＝a3＝32，a11－q31－q＝S3＝92.所以a1q2＝32，①a11＋q＋q2＝92，②由①②，得1＋q＋q2q2＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－12或q＝1(舍去).当q＝－12时，a1＝a3q2＝6.综上可知，a1＝32或a1＝6.答案32或6(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.思维升华变式训练1(1)已知函数f(x)＝log2x＋1，x>3，2x－3＋1，x≤3满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为()A.log23B.1716C.32D.1解析分两种情况分析，a≤32a－3＋1＝3①或者a>3log2a＋1＝3②，①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝32，故选C.答案C(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对解析 Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.答案D热点二由图形位置或形状引起的讨论例2(1)不等式组x－y＋3≥0，x＋y≥0，x≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点).解析画出不等式组表示的平面区域(如图).结合图中的可行域可知x∈[－32，2]，y∈[－2,5].由图形及不等式组，知－x≤y≤x＋3，－32≤x≤2，且x∈Z.当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点；当x＝1时，－1≤y...
