【创新设计】-版高中数学3.1.2.1指数函数及其图象同步训练苏教版必修11．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a的值是______．解析本题主要考查指数函数的定义，根据指数函数的定义，得解得∴a＝2.答案22．函数y＝()－x＋2的值域是________．解析由y＝()－x＋2＝23x－6，因(3x－6)∈R，所以y∈(0，＋∞)．答案(0，＋∞)3．函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．解析令x－3＝0，即x＝3时，y＝a0＋3＝1＋3＝4，∴.答案(3,4)4．方程3x－1＝的解是________．解析3x－1＝＝3－2，∴x－1＝－2，x＝－1.答案x＝－15．函数y＝()x与y＝()x的图象关于________对称．解析由图象的对称法则知y＝ax(a>0且a≠1)与y＝()x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，∵＝，∴()x与()x的图象关于y轴对称．答案y轴6．求函数y＝的定义域与值域．解函数的定义域为R.∵y＝＝＝1－，又2x＞0,1＋2x＞1，∴0＜＜1，∴0＜1－＜1，故函数y＝的值域为(0,1)7．函数f(x)与g(x)＝2x的图象关于y轴对称，且f(x)＞1，则x的取值范围是________．解析由题意，得f(x)＝()x，于是由()x＞1，得x＜0.答案(－∞，0)8．定义运算a⊗b＝则函数f(x)＝3－x⊗3x的值域为______．解析由题意知f(x)＝即f(x)＝结合图象知，f(x)的值域为(0,1]．答案：(0,1]9．函数y＝(a>0，a≠1)的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是________．解析由题要使y有意义，则ax－1≥0⇔ax≥1⇒ax≥a0当0
1时，x≥0，不合题意，故00且a≠1)恒过定点(0,1)，y＝ax－1恒过定点(1,1)，∴y＝ax－1＋1恒过点(1,2)．答案(1,2)11．已知f(x)＝(ax－a－x)，g(x)＝(ax＋a－x)(a＞0，a≠1)，求证：[f(x)2]＋[g(x)]2＝g(2x)．证明[f(x)]2＋[g(x)]2＝(ax－a－x)2＋(ax＋a－x)2＝(a2x＋a－2x)＝g(2x)．12．若指数函数y＝ax(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，求底数a的值．解若a＞1，当x＝－1时，ymin＝，当x＝1时，ymax＝a，由题意得a－＝1，解得a＝(舍去)，若0＜a＜1，当x＝－1时，ymax＝，当x＝1时，ymin＝a，由题意得－a＝1，解得a＝(舍去)，综上a＝.13．(创新拓展)设f(x)＝(ax＋a－x)，g(x)＝(ax－a－x)(a＞0，a≠1)．(1)计算g(5)和f(2)·g(3)＋f(3)·g(2)，并写出它们之间的关系．(2)由(1)的启示，你可猜想一个什么样的结论，并给出证明．解(1)g(5)＝(a5－a－5)，f(2)·g(3)＋f(3)·g(2)＝(a2＋a－2)(a3－a－3)＋(a3＋a－3)(a2－a－2)＝(a5－a－5)，所以g(5)＝f(2)·g(3)＋f(3)·g(2)．(2)由(1)猜想g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)f(y)证明如下：f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)＝(ax＋a－x)(ay－a－y)＋(ax－a－x)(ay＋a－y)＝(ax＋y＋ay－x－ax－y－a－x－y＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y)＝(ax＋y－a－x－y)＝g(x＋y)，所以g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)．
