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高中数学 2.3第1课时数学归纳法同步检测 苏教版选修2-2VIP免费

高中数学 2.3第1课时数学归纳法同步检测 苏教版选修2-2_第1页
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2.3第1课时数学归纳法1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取________.解析当n取1、2、3、4时2n>n2+1不成立,当n=5时,25=32>52+1=26,第一个能使2n>n2+1的n值为5.答案52.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则n=1时,f(1)是________.解析由于n=1代入得,所以f(1)的右端为从1加到.答案1++3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n+1)(n∈N*),从“k到k+1”左端需增乘的代数式为________.解析当n=k时左端为(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1),即(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2).观察比较它们的变化知增乘了=2(2k+1).答案2(2k+1)4.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”,在验证n=1时,左端计算所得项为________.解析把n=1代入an+1得a2,所以左端的式子为从1加到a2为止.故为1+a+a2.答案1+a+a25.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________.答案1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)26.用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中∈N+).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,那么,当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)2+1]2,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N+都成立.7.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.解析由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.答案π8.等式12+22+32+…+n2=,以下说法正确的是________(只填序号).①仅当n=1时成立②仅当n=1,2,3时成立③仅当n=1,2成立④n为任何自然数都成立解析当n=1、2、3时,等式两边相等,n=4时,左边=30,右边=28.等式不成立.答案②9.命题P(n)满足:若n=k(k∈N*)成立,则n=k+1成立,下面说法正确的是________(只填序号).①P(6)成立则P(5)成立②P(6)成立则P(4)成立③P(4)成立则P(6)成立④对所有正整数n,P(n)都成立解析由题意知,P(4)成立,则P(5)成立,若P(5)成立,则P(6)成立.所以P(4)成立,则P(6)成立.答案③10.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2(n≥3,n∈N*)个图形中共有________个顶点.解析当n=1时,顶点共有12=3×4(个),n=2时,顶点共有20=4×5(个),n=3时,顶点共有30=5×6(个),n=4时,顶点共有42=6×7(个),故第n个图形共有顶点(n+2)(n+3)个,∴第n-2个图形共有顶点n(n+1)个.答案n(n+1)11.用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=12,右边=×1×(4×1-1)=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1),则当n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=(2k+1)(2k2+5k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+3)=(k+1)(4k2+8k+3)=(k+1)[4(k+1)2-1],即当n=k+1时,等式成立.由(1),(2)可知,对一切n∈N*等式成立.12.观察下列各式:1=122+3+4=323+4+5+6+7=524+5+6+7+8+9+10=72试猜测一般结论,并用数学归纳法证明.解由题给的表达式,猜测一般结论为n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2,n∈N*.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,由题设条件知,显然成立.(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立,即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2.则当n=k+1时,左边=[(k+1)+(k+1+1)+…+(3k-2)]+(3k-1)+3k+(3k+1)=(2k-1)2-k+(3k-1)+3k+(3k+1)=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2,右边=[2(...

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