2.3第2课时数学归纳法的应用1.用数学归纳法证明≥n(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设n=k命题成立之后,证明n=k+1命题也成立的关键是__________________.解析要想办法出现ak+1+bk+1,两边同乘以,右边也出现了要证的k+1.答案两边同乘以2.数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4后,归纳、猜测得出an的表达式为________.解析a1=2,a2=,a3=,a4=,猜测an=.答案an=3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为____________.解析S1=1,S2=,S3==,S4=,猜想Sn=.答案Sn=4.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是________.解析 f(k)=12+22+…+(2k)2,∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答案f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)25.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为________.解析 等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即:整理得解得a=,b=c=.答案a=,b=c=6.已知n∈N*,n>2时,求证:1+++…+>.证明(1)当n=3时,左边=1++,右边==2,左边>右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k>2)时,不等式成立,即1+++…+>.当n=k+1时,1+++…++>+==. >==,∴1+++…++>,∴当n=k+1时,不等式也成立.由(1),(2)知对这一切n∈N*,n>2,不等式成立.7.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为____________________.解析由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2,∴a2==,S3=3(2×3-1)a3,即++a3=15a3.∴a3==,同理,a4=.所以猜想an=.答案an=8.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时,当n=k+1时左端在n=k时的左端加上________.解析n=k时左端为1+2+3+…+k2,n=k+1时左端为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.答案(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)29.用数学归纳法证明“1+++……+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是________.解析增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案2k10.124357681012911131517…………………………某同学做了一个如上图所示的等腰直角三角形形状的数表,且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行,若用a(i,j)表示第i行从左数第j个数,如a(4,3)=10,则a(21,6)=________.解析观察数表可知,数表中的第21行为奇数行,如果删去偶数行,原数表中的第21行为奇数行数表中的第11行.新数表中第10行最后一个数为2(1+3+5+…+19)-1=2·-1=199.所以第21行的第6个数为199+2×6=211.答案21111.已知f(x)=,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N*),则x2,x3,x4分别为多少?猜想xn,并用数学归纳法证明.证明 f(x)=,x1=1,xn=f(xn-1),∴x2=f(x1)=f(1)=,x3=f(x2)=f===,x4=f(x3)=f==,猜想:xn=.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,左边=x1=1,右边==1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即xk=,当n=k+1时,xk+1=f(xk)=====,∴当n=k+1时,命题成立.由(1),(2)可知原命题成立.12.数列{an}中,a1=1,Sn=n2an.(1)求a2,a3,a4;(2)猜想{an}的通项公式,并证明你的猜想.解(1) Sn=n2an,∴Sn+1=(n+1)2an+1,两式相减得an+1=(n+1)2an+1-n2an,∴an+1=an.由a1=1得a2=,由a2=得a3=,由a3=得a4=.(2)由a1,a2,a3,a4的值猜想:an=(n∈N*).以下用数学归纳法证明:an=(n∈N*):①当n=1时,a1=1=成立.②假设当n=k(k∈N*)时,ak=.那么ak+1=·ak=·=.这表明当n=k+1时猜想正确.根据①②可知对任意n∈N*,an=.13.(创新拓展)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(...