高中数学 2.3第2课时数学归纳法的应用同步检测 苏教版选修2-2VIP免费

2.3第2课时数学归纳法的应用1．用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是__________________．解析要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.答案两边同乘以2．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．解析a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.答案an＝3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为____________．解析S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.答案Sn＝4．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析 f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)25．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．解析 等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：整理得解得a＝，b＝c＝.答案a＝，b＝c＝6．已知n∈N*，n＞2时，求证：1＋＋＋…＋＞.证明(1)当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k＞2)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞＋＝＝. ＞＝＝，∴1＋＋＋…＋＋＞，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对这一切n∈N*，n＞2，不等式成立．7．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为____________________．解析由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，同理，a4＝.所以猜想an＝.答案an＝8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．解析n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)29．用数学归纳法证明“1＋＋＋……＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案2k10.124357681012911131517…………………………某同学做了一个如上图所示的等腰直角三角形形状的数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用a(i，j)表示第i行从左数第j个数，如a(4,3)＝10，则a(21,6)＝________.解析观察数表可知，数表中的第21行为奇数行，如果删去偶数行，原数表中的第21行为奇数行数表中的第11行．新数表中第10行最后一个数为2(1＋3＋5＋…＋19)－1＝2·－1＝199.所以第21行的第6个数为199＋2×6＝211.答案21111．已知f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，则x2，x3，x4分别为多少？猜想xn，并用数学归纳法证明．证明 f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)，∴x2＝f(x1)＝f(1)＝，x3＝f(x2)＝f＝＝＝，x4＝f(x3)＝f＝＝，猜想：xn＝.用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，左边＝x1＝1，右边＝＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即xk＝，当n＝k＋1时，xk＋1＝f(xk)＝＝＝＝＝，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知原命题成立．12．数列{an}中，a1＝1，Sn＝n2an.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想．解(1) Sn＝n2an，∴Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，两式相减得an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an.由a1＝1得a2＝，由a2＝得a3＝，由a3＝得a4＝.(2)由a1，a2，a3，a4的值猜想：an＝(n∈N*)．以下用数学归纳法证明：an＝(n∈N*)：①当n＝1时，a1＝1＝成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝.那么ak＋1＝·ak＝·＝.这表明当n＝k＋1时猜想正确．根据①②可知对任意n∈N*，an＝.13．(创新拓展)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(...